Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

26 И. Ю. Реброва, В. Н. Чубариков Пусть Λ — произвольная -мерная решётка в R . Рядом Дирихле ( | Λ) для решётки Λ будем называть произвольную функцию, заданную равенством ( | Λ) = ∑︁ ⃗ ∈ Λ ( ⃗ ) ( 1 · . . . · ) = ∞ ∑︁ =1 ( ) − , = + , > ⩾ * , где — абсцисса абсолютной сходимости и * — абсцисса сходимости, а — точки усечённого норменного спектра (Λ) , который определяется равенством (Λ) = { | = ( ⃗ ) , ⃗ ∈ Λ ∖{ ⃗ 0 }} , ( ⃗ ) = 1 · . . . · и ( ) = ∑︁ 1 · ... · = ( ⃗ ) . Как хорошо известно [10, 11], для любых рядов Дирихле справедливо неравенство ⩽ * +1 . По теореме Абеля (см. [10], стр. 106) ( | Λ) = ∞ ∫︁ 1 * ( ) +1 , * ( ) = ∑︁ ( ⃗ ) ⩽ ( ⃗ ) . Множество всех рядов Дирихле, порожденных заданной решёткой Λ , обозначим через D (Λ) . В работах [3] и [6] заложены основы общей теории алгебр рядов Дирихле моноида на- туральных чисел и теории пространств рядов Дирихле. Наиболее актуальный вопрос — это аналитическое продолжение рядов Дирихле -мерных решёток. Следующий вопрос связан с непрерывность рядов Дирихле -мерных решёток на пространстве решёток. Гиперболическая дзета-функция решёток является простейшем примером ряда Дирихле для -мерной решётки. Ещё в 1998 году в работе [2] была доказана непрерывность гиперболической дзета-функции в правой полуплоскости > 1 на пространстве решёток. Естественно поставить вопрос о соответствующих аналогах для рядов Дирихле -мерных решёток на пространстве решёток. 4. Алгебра рядов Дирихле для заданной решётки, повторяющей- ся умножением В статье [6] заложены основы теории пространств и алгебр рядов Дирихле, порожденных -мерными решётками. Показано, что пространство таких рядов Дирихле вкладывается в ал- гебру рядов Дирихле моноида вещественных чисел. Таким образом, возникает более общий случай, чем в работе [3]. Этот более общий случай близок по объекту исследования с тем, что рассматривался в работах Б. М. Бредихина. Один из интересных вопросов связан с выделени- ем в спектре (Λ) тех элементов, которые будут простыми элементами в мультипликативном моноиде вещественных чисел ( (Λ)) . Здесь возникают непростые вопросы о подходящем понятии плотности для моноида ( (Λ)) и вида асимптотического закона распределения простых элементов в зависимости от решётки Λ . Мы предполагаем рассмотреть такие вопросы в дальнейших исследованиях. В случае решёток, повторяющихся умножением, важную роль играет норменный спектр (Λ) , который задается равенством (Λ) = { | = | 1 . . . | , ⃗ ∈ Λ ∖{ ⃗ 0 }} .