Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе . . . 25 что каждая двумерная решётка имеет счетное число различных базисов, что вызывает до- полнительные трудности. Аналогичные трудности встретятся при построении гладкого мно- гообразия многомерных решёток, начиная с размерности два, и, тем более, для многомерных сдвинутых решёток. Нам потребуется обозначение действия линейного преобразования, заданного матрицей , на решётку Λ( ⃗ 1 , . . . , ⃗ ) с базисом ⃗ 1 = ( 1 , 1 , . . . , 1 , ) , . . . , ⃗ = ( , 1 , . . . , , ) и базисной матрицей = ⎛ ⎜⎝ 1 , 1 . . . 1 , . . . . . . . . . , 1 . . . , ⎞ ⎟⎠ . Будем писать · Λ( ⃗ 1 , . . . , ⃗ ) = Λ( · ⃗ 1 , . . . , · ⃗ ) , · ( ⃗ 1 , . . . , ⃗ ) = ( · ⃗ 1 , . . . , · ⃗ ) = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎝ ∑︀ =1 1 , , 1 . . . ∑︀ =1 1 , , . . . . . . . . . ∑︀ =1 , , 1 . . . ∑︀ =1 , , ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎠ . Таким образом, произвольный вектор ⃗ = 1 ⃗ 1 + . . . + ⃗ под действием линейного преоб- разования с матрицей переходит в вектор · ⃗ = 1 · ⃗ 1 + . . . + · ⃗ и · ⃗ = (︀ , 1 . . . , )︀ · ⎛ ⎜⎝ 1 , 1 . . . 1 , . . . . . . . . . , 1 . . . , ⎞ ⎟⎠ ( = 1 , . . . , ) . Как известно (см. [5], стр.165), множество всех -мерных решёток образует полное метри- ческое пространство относительно метрики (Λ , Γ) , которая задана равенствами (Λ , Γ) = max(ln(1 + ) , ln(1 + )) , = inf Λ= · Γ ‖ − ‖ , = inf · Λ=Γ ‖ − ‖ , = ⎛ ⎜⎝ 1 . . . 0 ... . . . ... 0 . . . 1 ⎞ ⎟⎠ = ( ) 1 ⩽ , ⩽ , = {︂ 1 при = , 0 при̸ = , ‖ ‖ = · max 1 ⩽ , ⩽ | | . Дальнейшая работа по построению гладкого многообразия многомерных решёток будет строиться по следующему плану. 1. Описание топологии на пространстве многомерных решёток, следуя монографии [5]. 2. Выделение окрестностей и отображение их в области 2 -мерного евклидова простран- ства. 3. Построение атласа карт, покрывающих всё пространство -мерных решёток. 4. Изучение дифференциальных свойств основных функций, которые используются в теоретико-числовом методе в приближенном анализе. 5. Перенос построенной теории на пространство сдвинутых решёток. 3. Пространство рядов Дирихле для заданной решётки Ряды Дирихле, порождённые решетками, естественно возникают в теоретико-числовом методе в приближенном анализе и играют в его развитии существенную роль.