Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

24 И. Ю. Реброва, В. Н. Чубариков Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical Sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: i_rebrova@mail.ru Chubarikov Vladimir Nikolaevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: chubarik2020@mail.ru Abstract The paper gives a detailed description of the directions of research conducted at the Tula School of Number Theory during the implementation of the project funded by the grant of RSF No. 23-21-00317 on the topic "Geometry of numbers and Diophantine approximations in the number-theoretic method in approximate analysis". Keywords: Numerical-theoretic method in approximate analysis, lattices, grids, quadrature formulas, interpolation formulas, hyperbolic Zeta function of lattices, Zeta functions of monoids of natural numbers, metric space of lattices, smooth variety of lattices. Bibliography: 11 title. For citation: I. Yu. Rebrova, V. N. Chubarikov, 2023, "Number geometry and Diophantine approximations in the number-theoretic method in approximate analysis " , Notes of scientific seminars of the Tula School of Number Theory , Iss. 2, pp. 23–31. 1. Введение В программе исследований по проекту, финансируемому грантом РНФ № 23-21-00317 по теме "Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе в прибли- женном анализе" , определены следующие 5 направлений. 1. Построение теории гладких многообразий решёток. 2. Пространство рядов Дирихле для заданной решётки. 3. Алгебра рядов Дирихле для заданной решётки, повторяющейся умножением. 4. Погрешности приближенного интегрирования для новых классов функций, заданных моноидами натуральных чисел. 5. Создание информационных ресурсов по теоретико-числовому методу в рамках разра- ботки ПОИВС ТМК, содержащих результаты проекта за 2023 г.. Цель данной статьи — дать развернутую характеристику этих направлений исследований. 2. Построение теории гладких многообразий решёток Хорошо известно, что множество всех -мерных решёток образуют полное метрическое пространство (см. [5]). В работе [7] было показано, что множество всех алгебраических решё- ток всюду плотно в пространстве всех -мерных решёток. В работе [8] был начат новый этап в изучении решёток — было построено гладкое мно- гообразие одномерных решёток, а в работе [9] эти исследования были продолжены и было построено гладкое многообразие одномерных сдвинутых решёток. Необходимо сразу отме- тить, что построение гладкого многообразия сдвинутых решёток требует больше усилий, так как, во-первых, требуется на пространстве сдвинутых решёток задать структуру метрическо- го пространства, а это делается неоднозначно, а, во-вторых, пространство сдвинутых решёток вкладывается в пространство двумерных решёток, и мы здесь сталкиваемся с тем фактом,