Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике 21 Таким образом, возникает задача как по результатам приближенного интегрирования по нескольким квадратурным формулам получить достоверную информацию о значении инте- грала и достигнутой точности приближенного интегрирования. Основы соответствующей тео- рии об алгоритмах с правилами остановки заложена в упомянутой работе [2] и в настоящее время актуальной задачей является разработка библиотеки программ, реализующих алгорит- мы интегрирования с правилами остановки. Здесь уместно напомнить замечания профессора Н. М. Коробова из монографии [3] (стр. 159): "Вместе с тем следует отметить, что преимущество лучшей формулы не обязательно обнаруживается сразу. Не исключена, очевидно, возможность того, что это преимущество вы- явиться лишь при весьма больших значениях , в связи с чем применение лучшей формулы может оказаться нецелесообразным. Поэтому в вычислительной практике при выборе квад- ратурной формулы необходимы соответствующие эксперименты." 6. Разработка прикладного программного обеспечения Предполагается рассмотреть дифракцию звуковых волн неоднородной изотропной цилин- дрической оболочкой конечной длины произвольной толщины. Полагается, что в полости ци- линдрической оболочки – вакуум. Плотность и модули упругости материала оболочки опи- сываются непрерывными функциями радиальной координаты. Первичное поле возмущений представляет собой плоскую гармоническую звуковую волну, наклонно падающую на тело. Для рассеянного поля используется представление в виде интеграла Гельмгольца- Кирхго- фа. Предполагается, что будет показано, что использование квадратурных формул по парал- лелепипедальным сеткам Коробова позволяет сократить число вычислений при приближен- ном вычислении интегралов. Этот метод будет сравниваться с вычислением интегралов мето- дом последовательного интегрирования по квадратурной формуле трапеций. Будет проведено сопоставление времени вычисления потенциала поля, рассеянного конечной цилиндрической оболочкой, двумя методами вычисления интегралов. Передполагается, что будет выявлено существенное влияние неоднородности материала оболочки на звукоотражающие свойства упругих цилиндрических тел. 7. Интегральные представления для ядер обобщенного преобра- зования Фурье В гармоническом анализе на прямой со степенным весом сначала появилось унитарное преобразование Данкля, зависящее от одного параметра ⩾ 0 , а затем двупараметрическое ( , ) -обобщенное преобразование Фурье, частным случаем которого является преобразование Данкля ( = 2) . Наличие параметра > 0 при̸ = 2 приводит к появлению деформационных свойств, например, для функций из пространства Шварца обобщенное преобразование Фурье может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. В случае последовательности = 2 / (2 +1) , ∈ Z + , деформационные свойства обобщенно- го преобразования Фурье весьма слабые и после некоторой замены переменных они исчезают. Получаемое унитарное преобразование при = 0 дает обычное преобразование Данкля и обладает многими его свойствами. Оно названо обобщенным преобразованием Данкля. В дальнейшей работе предполагается определить оператор сплетения, устанавливающий связь дифференциально-разностного оператора второго порядка, для которого ядро обобщен- ного преобразования Данкля является собственной функцией, с одномерным оператором Ла- пласа и позволяющий записать ядро в удобном для его оценок виде. В отличие от оператора сплетения для преобразования Данкля он имеет ненулевое ядро.