Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

20 Н. Н. Добровольский, В. И. Иванов, Л. А. Толоконников 4. Приближения алгебраических решёток целочисленными ре- шётками По-прежнему, остаётся актуальной задача приближения алгебраических решёток целочис- ленными. Удовлетворительное решение этой проблемы получено только для случая квадра- тичных полей, хотя и в этом случае остаются нерешёнными некоторые важные задачи. К чис- лу таких нерешённых задач относится проблема соотношений между множеством Быковского для целочисленных решёток и множеством локальных минимумов для алгебраической решёт- ки. Интерес к этой проблеме обусловлен тем фактом, что сумма Быковского оценивает гипер- болическую дзета-функцию решётки снизу и сверху с точностью до множителя, ограниченного некоторой константой, не зависящей от решётки. Другой вопрос связан с задачей интерполирования. В последнее время установлены важ- ные свойства интерполяционных многочленов для периодических функций, построенных по параллелепипедальным сеткам. Возникает вопрос о погрешности таких интерполяционных формул, если соответствующая целочисленная решётка является хорошим приближением ал- гебраической решётки. 5. Оценки погрешности интегрирования по совокупности квад- ратурных формул Вопросы, связанные с оценкой погрешности интегрирования по совокупности квадратур- ных формул был поставлен в работе [2]. Для произвольных целых 1 ,. . ., суммы ,⃗ ( 1 ,. . ., ) , определённые равенством ,⃗ ( 1 ,. . ., ) = ∑︁ =1 2 [ 1 1 ( )+ ... + ( )] , (1) называются тригонометрическими суммами сетки с весами . Теорема 1 . Если ( 1 , . . . , ) ∈ ( ) , то для погрешности квадратурной формулы справедлива оценка | [ ] | ≤ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 ,⃗ ( ⃗ 0) − 1 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ + ∞ ∑︁ ′ 1 ,..., = −∞ | ,⃗ ( ⃗ ) | ( 1 . . . ) = = ⃒ ⃒ ⃒ * ,⃗ ( ⃗ 0) − 1 ⃒ ⃒ ⃒ + · ( , 1 | , ⃗ ) , (2) где сумма ,⃗ ( ⃗ ) определена равенством (1). На классе ( ) эту оценку нельзя улучшить. Согласно теореме 1 для погрешности приближенного интегрирования справедлива оценка | [ ] | ≤ ‖ ( ⃗ ) ‖ · (︁⃒ ⃒ ⃒ * ,⃗ ( ⃗ 0) − 1 ⃒ ⃒ ⃒ + ( , 1 | , ⃗ ) )︁ , но норма функции ‖ ‖ , как правило, неизвестна и задача её вычисления более сложная чем задача вычисления интеграла, который является значением только одного коэффициента Фурье ( ⃗ 0) . Более того, относительно параметра гладкости для конкретной функции может быть известна только некоторая оценка, вытекающая из дифференциальных свойств функции, что приводит ещё к большей неопределенности для решения вопроса о достигнутой точности вычисления по конкретной квадратурной формуле для этой конкретной функции.