Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике 19 справедлива формула ( ( P ) | ) = ∑︁ ∈ ( P ) , ⩽ 1 + − 1 − + (︂ 1 )︂ , где постоянная в знаке зависит только от 0 . Действительно, ( ( P ) | ) = ( ) , ∑︁ ∈ ( P ) , ⩽ 1 = ∑︁ ⩽ 1 , ( ) = ∑︁ ⩽ 1 1 + 1 − − 1 + (︀ − )︀ . Так как ( P ) ( ) = ( 1 ) , то справедлив асимптотический закон ( P ) ( ) ∼ 1 ln , который согласно Б. М. Бредихину можно получить элементарно, минуя асимптотический закон для простых чисел. Более того, из асимптотического закона распределения простых чисел (См. [1], стр. 59) ( ) = ∫︁ 2 ln + (︁ − 2 √ ln )︁ следует, что для моноида ( P ) выполнен усиленный асимптотический закон в форме Бре- дихина ( P ) ( ) = ∫︁ 1 2 ln + (︂ 1 − 2 √︁ 1 ln )︂ . Рассмотрим последовательность, полученную объединением двух моноидов ( P ) и ( P +1 ) , , +1 = ( P ) ⋃︀ ( P +1 ) . Нетрудно видеть, что ( P ) ⋂︀ ( P +1 ) = ( P ( +1) ) . Отсюда следует, что , +1 ( ) = [ 1 ] + [ 1 +1 ] − [ 1 ( +1) ] . Таким образом, последовательность , +1 имеет степенную плотность с = 1 и удовлетворяет условию обобщенной леммы Сель- берга с 1 = 1 +1 , 2 = 1 ( +1) , 3 = 0 , так как , +1 ( ) = 1 + 1 +1 − 1 ( +1) + (1) . Для дзета-функции справедливо равенство ( , +1 | ) = ( ) + (( + 1) ) − ( ( + 1) ) , из которого следует, что ( , +1 | ) — аналитическая функция на всей комплексной плос- кости, кроме точек 1 = 1 , 2 = 1 +1 и 3 = 1 ( +1) , в которых полюса первого порядка, а абсцисса абсолютной сходимости удовлетворяет равенству , +1 = 1 . Пользуясь функциональным уравнением для дзета-функции Римана мы можем написать и функциональное уравнение для ( , +1 | ) = ( )+ (( +1) ) − ( ( +1) ) . Действительно, при = + , < 0 имеем: ( , +1 | ) = ( ) (1 − ) + (( + 1) ) (1 − ( + 1) ) − ( ( + 1) ) (1 − ( + 1) ) , где ( ) = 2Γ(1 − ) (2 ) 1 − sin 2 — множитель Римана. Нетрудно видеть, что аналогичные примеры можно строить и для объединения нескольких моноидов со степенной плотностью, для которого будет выполнено сильное условие Сельберга– Бредихина. Актуальной задачей является расширение классов моноидов и последовательностей нату- ральных чисел, для которых можно найти функциональное уравнение для соответствующей дзета-функции.