Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

18 Н. Н. Добровольский, В. И. Иванов, Л. А. Толоконников обобщенного преобразования Рисса и обобщенных преобразований Рисса в функциональных пространствах с весом. Цель данной статьи — дать развернутую характеристику этих направлений исследований. 2. Построение теории дзета-функций, соответствующих подгруп- пам мультипликативной группы поля вычетов по простому мо- дулю Как хорошо известно из элементарной теории сравнений мультипликативная группа Z * поля вычетов Z по простому модулю является циклической группой порядка − 1 , которая имеет ( − 1) образующих элементов — первообразных корней. Если ⊂ Z * произвольная подгруппа, то множество ( , ) , заданное равенством ( , ) = { ∈ N | ≡ (mod ) , ∈ } , является мультипликативным моноидом без однозначного разложения на простые элементы. Последнее утверждение легко объяснить. Дело в том, что каждый класс вычетов по мо- дулю , взаимно простой с модулем, по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии содержит бесконечно много простых чисел. Отсюда следует, что моноид ( , ) содержит бесконечно много псевдопростых элементов, которые являются произведением про- стых чисел, не входящих в моноид ( , ) . Именно эти псевдопростые числа и создают эф- фект неоднозначности разложения на простые элементы. Отсюда следует, что дзета-функция ( ( , ) | ) моноида ( , ) не равна соответству- ющему произведению Эйлера. Нетрудно указать подмоноид * ( , ) с однозначным разложением на простые числа. Определим его следующим образом * ( , ) = {︃ = ∏︁ =1 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ≡ (mod ) , ∈ , = 1 , . . . , }︃ . Таким образом, имеем: ( * ( , ) | ) = ∏︁ ≡ (mod ) , ∈ (︂ 1 − 1 )︂ − 1 . Одним из актуальных вопросов теории дзета-функций, соответствующих подгруппам мультипликативной группы поля вычетов по простому модулю, является вопрос о справедли- вости эффекта Дэвенпорта и Хейльбронна [4] о нулях дзета-функции моноида ( , ) . 3. Функциональное уравнение Пусть P = { 2 , 3 , 5 , . . . } — множество -ых степеней всех простых чисел. Ясно, что ( P ) = N , а ( P ) = N = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } — множество -ых степеней всех натуральных чисел. Моноид ( P ) — с однозначным разложением на простые элементы, а множеством простых элементов являются псевдопростые числа, которые образуют множество P . Легко видеть, что моноид ( P ) имеет единичную степенную 1 -плотность, так как ( P ) ( ) = [ 1 ] . Нетрудно видеть, что моноид ( P ) регулярно удовлетворяет условию обобщенной леммы Сельберга ( P ) ( ) = 1 + (1) , так как при 0 < 0 ⩽ ⩽ 2 , ⩾ | | ⩾ 2 для = +