Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

12 М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский Несложно построить несчетное множество моноидов натуральных чисел, у которых все простые элементы являются псевдопростыми числами, и у которых выполняется однознач- ность разложения на простые элементы. Ясно, что множество псевдопростых элементов не может иметь маленькую плотность, так как тогда, скорее всего, аналоги теоремы универсаль- ности С. М. Воронина не будут иметь место. 5. Оценки приближенного интегрирования Получить новые оценки приближенного интегрирования на классах функций, определяе- мых моноидами натуральных чисел. Здесь предполагается продолжить исследования, начатые в статье авторов «Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближен- ном анализе». В частности, интересно было бы найти обобщение понятия допустимого набора оптимальных коэффициентов для моноида чисел сравнимых с 1 по модулю . Другое направление исследований в этой области связано с тем, что множество решений линейного сравнения в элементах моноида уже не будет решёткой, а будет пересечением ре- шётки решений линейного сравнения и декартовой степени моноида натуральных чисел , задающего класс периодических функций . Здесь было бы интересно найти аналоги гиперболического параметра решётки и минималь- ного множества Быковского. На наш взгляд, следует начинать исследования с рассмотрения двумерного случая по аналогии с работой [18]. 6. Использование моноидов натуральных чисел в абстрактной теории чисел В абстрактной теории чисел и её приложениях к статистической физике важную роль играет понятие энтропии. Так как энтропия равна логарифму функции распределения, то изучение поведения энтропии моноида равносильно решению обратной задачи для этого мо- ноида. В работе [10] рассмотрены вопросы об асимптотики энтропии для некоторых моноидов натуральных чисел и моноидов натуральных чисел с весовой функцией. Во-первых, задача решена для двух моноидов типа геометрическая прогрессия. Во-вторых, полученные результаты относительно энтропии для моноидов с произвольной экспоненциальной последовательностью простых чисел типа на основании полученного ра- нее авторами решения обратной задачи для моноидов этого типа. Наконец, для произвольного основного моноида ( P ( )) типа на основании решения обратной задачи, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида ( P ( )) , исходя из асимптотики распределения псевдопростых чисел P ( ) типа , получены оценки для энтропии. Для решения этой задачи рассматриваются два гомоморфизма основного моноида ( P ( )) типа и задача о распределении сводится к аддитивной задаче Ингама. Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает. Вве- дено новое понятие логарифмической -степенной плотности. Показано, что любой моноид ( P ( )) для последовательности псевдопростых чисел P ( ) типа имеет оценки сверху и снизу для функции распределения элементов основного основ- ного моноида ( P ( )) типа . Показано, что если логарифмическая -степенная плотность для основного монои- да ( P ( )) типа существует, то = 1 2 и для константы справедливы неравенства √︁ 1 3 ln ⩽ ⩽ √︁ 2 3 ln .