Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

Дзета-функция моноидов натуральных чисел и смежные вопросы 11 полюс с помощью асимптотической формулы для функции распределения со степенной плот- ностью. По-видимому, в случае -логарифмической -степенной плотности абсцисса абсолют- ной сходимости всегда равна 0. В пользу последнего предположения следует отнести результа- ты статьи [15] о свойствах дзета-функции моноида с экспоненциальной последовательностью простых и статьи [5], в которой установлена область голоморфности этой дзета-функции. Ана- логичные результаты установлены в работах [7] и [16] для дзета-функции основного моноида типа . 3. Аналитическое продолжение Получить условия для аналитического продолжения дзета-функции моноида натуральных чисел. Здесь так же подразумевается рассмотреть следующие случаи: степенная плотность и -логарифмическая -степенная плотность. По-видимому, эти два случая имеют принципи- альное различие. В первом случае должен быть полюс на вещественной прямой с координатой равной абсциссе абсолютной сходимости и можно продолжить аналитически дзета-функцию за вертикальную прямую с этой абсциссой. Во втором случае можно предположить, что всегда мнимая ось будет границей области голоморфности соответствующей дзета-функции моноида натуральных чисел. Примеры из статьи [5] показывают, что одной степенной плотности недостаточно для суще- ствования аналитического продолжения на всю комплексную плоскость. Дело в том, что если мы имеем два взаимно простых моноида 1 и 2 и их произведение есть моноид = 1 · 2 , то справедливо равенство для произведения дзета-функций: ( | ) = ( 1 | ) · ( 2 | ) , = + , ⩾ max( 1 , 2 ) . Например, если = N , а 1 — либо моноид с экспоненциальной последовательностью простых, либо основной моноид типа , то ( | ) = ( ) и имеет аналитическое продолже- ние на всю комплексную плоскость, кроме точки = 1 , а областью голоморфности ( 1 | ) является вся правая полуплоскость > 0 и мнимая ось вся состоит из особых точек этой дзета- функции. Отсюда следует, что областью голоморфности дзета-функции ( 2 | ) является вся правая полуплоскость > 0 , кроме точки = 1 , в которой полюс первого порядка. Здесь мы существенно пользуемся тем фактом, что ( 1 | ) имеет произведение Эйлера, а, значит, не обращается в ноль в правой полуплоскости > 0 . Кроме этого, мы видим, что и , и 2 имеют одинаковую 1-плотность, а наличие у них аналитического продолжения существенно различное. 4. Алгебра рядов Дирихле Найти новые свойства алгебры рядов Дирихле моноидов натуральных чисел и её струк- туры. В частности, ранее авторам удалось с помощью теоремы универсальности С. М. Воро- нина доказать слабую форму теоремы универсальности для широкого класса дзета-функций моноидов натуральных чисел. Было бы интересно выяснить какие элементы доказательства С. М. Воронина непосредственно переносятся на этот класс дзета-функций моноидов нату- ральных чисел? Например, достаточно очевидно, что доказательство С. М. Воронина должно проходить, если из множества простых удалить любое конечное множество простых. Более проблематично, если удалить экспоненциальную последовательность простых. Слабая тео- рема универсальности должна получиться для отношения дзета-функции Римана и дзета- функции основного моноида типа .