Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

10 М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский Dobrovol’skii Mikhail Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Geophysical centre of RAS (Moscow). e-mail: m.dobrovolsky@gcras.ru Dobrovol’skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences (Tula). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com Dobrovol’skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru Abstract The paper gives a detailed description of the directions of research conducted at the Tula School of Number Theory during the implementation of the project funded by the grant of RSF No.22-21-00544 on the topic "Zeta function of monoids of natural numbers and related issues" . Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, Hurwitz zeta function. Bibliography: 18 titles. For citation: M. N. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, 2023, "Zeta function of monoids of natural numbers and related issues" , Notes of scientific seminars of the Tula School of Number Theory , Iss. 2, pp. 9–15. 1. Введение В программе исследований по проекту, финансируемому грантом РНФ № 22-21-00544 "Дзета-функция моноидов натуральных чисел и смежные вопросы" , определены следующие 5 направлений. 1. Исследовать области абсолютной сходимости дзета-ряда для дзета-функции моноида натуральных чисел. 2. Получить условия для аналитического продолжения дзета-функции моноида натураль- ных чисел. 3. Найти новые свойства алгебры рядов Дирихле моноидов натуральных чисел и её струк- туры. 4. Получить новые оценки приближенного интегрирования на классах функций, опреде- ляемых моноидами натуральных чисел. 5. Найти примеры использования моноидов натуральных чисел в абстрактной теории чисел и в приложениях к термодинамике многочастичных систем. Цель данной статьи — дать развернутую характеристику этих направлений исследований. 2. Области абсолютной сходимости Исследованию области абсолютной сходимости дзета-ряда для дзета-функции моноида на- туральных чисел посвящено несколько работ [2, 3, 4, 5, 6, 8, 9]. Так как каждый такой ряд является рядом Дирихле, то для него определено понятие абсциссы абсолютной сходимости. Планируется получить условия, связывающие плотность распределения элементов моноида натуральных чисел и абсциссы абсолютной сходимости дзета-функции моноида. Здесь под- разумевается рассмотреть следующие случаи: степенная плотность и -логарифмическая - степенная плотность. Исходя из функции распределения элементов моноида, получить ин- тегральное представление для дзета-функции моноида с помощью теоремы Абеля и найти