Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

Метрическое пространство двумерных диагональных унимодулярных решёток 41 тогда существует диагональная унимодулярная решётка Λ( ) такая, что найдется последова- тельность матриц и таких, что lim →∞ ‖ − 2 ‖ = lim →∞ ‖ − 2 ‖ = 0 и (︂ 0 0 1 )︂ = (︂ 0 0 1 )︂ · , (︂ 0 0 1 )︂ = (︂ 0 0 1 )︂ · . Теорема 1 . Пространство диагональных унимодулярных решёток полно. Доказательство. Действительно, пусть последовательность диагональных унимодуляр- ных решёток Λ( 1 ) , Λ( 2 ) ,. . . , Λ( ) ,. . . является последовательностью Коши, тогда для любого > 0 , < 1 существует номер = ( ) такой, что для любых и больших существуют матрицы , и , такие, что ‖ , − 2 ‖ , ‖ , − 2 ‖ < . Пусть для определенности ⩾ , тогда по лемме 2 имеем: ⩽ ⩽ (︀ 1 + 2 )︀ . Отсюда следует, что последователь- ность 1 , 2 ,. . . , ,. . . является ограниченной последовательность положительных веществен- ных чисел. Отсюда вытекает, что для любого > 0 , < 1 номер = ( ) такой, что для любых и больших выполнено неравенство | − | < , что означает — последователь- ность 1 , 2 ,. . . , ,. . . — фундаментальная, а, следовательно, lim →∞ = , lim →∞ = 1 . Отсюда и из леммы 1 вытекает, что lim →∞ (Λ( ) , Λ( )) = 0 , что означает полноту метрического пространства диагональных, унимодулярных решёток. 2 4. Заключение Из полноты метрического пространства диагональных, унимодулярных решёток возникает вопрос о предельном переходе последовательности гиперболических дзета-функций сходящей- ся последовательности диагональных унимодулярных решёток в левой полуплоскости. Ответ на этот вопрос будет темой нашей следующей работы. СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с. REFERENCES 1. Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometriyu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow , (Russia). Получено 17.12.2022 г. Принято в печать 20.12.2022 г.