Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

40 А. П. Крылов, Н. М. Добровольский Так как произведение матриц (︂ 2 0 0 1 2 )︂ · = (︂ 2 (1 + 1 ) 2 2 3 2 1+ 4 2 )︂ является базисной матрицей диагональной решётки Λ( 1 ) , то найдётся целочисленная унимо- дулярная матрица перехода такая, что 1 2 − 2 1 = 1 и (︂ 1 0 0 1 1 )︂ = (︂ 1 2 1 2 )︂(︂ 2 (1 + 1 ) 2 2 3 2 1+ 4 2 )︂ = (︃ 1 2 (1 + 1 ) + 2 3 2 1 2 2 + 2 1+ 4 2 1 2 (1 + 1 ) + 2 3 2 1 2 2 + 2 1+ 4 2 )︃ . Если 2 = 0 , то 2 = 0 . Отсюда находим, что 1 = 2 = 1 , 1 = 2 (1 + 1 ) , и 1 − 2 = 2 1 . Пусть теперь 2̸ = 0 , тогда находим, что 1 = − 2 1+ 4 2 2 2 = − 2 2 2 1 + 4 2 , 1 = − 2 3 2 2 (1 + 1 ) = − 2 2 2 3 1 + 1 ; 2 2 2 2 (︂ 3 1 + 1 − 1 + 4 2 )︂ = 1 , 2 2 2 2 (1 + 1 ) 2 = − 1; 1 = 2 2 (︂ 3 − (1 + 1 )(1 + 4 ) 2 )︂ = − 2 2 2 , 1 1 = 2 2 (︂ 1 + 4 − 2 3 1 + 1 )︂ = 2 2 (1 + 1 ) . Таким образом, 1 = − 2 2 2 = 2 (1 + 1 ) 2 . Так как по условию 1 ⩾ 2 , то 1+ 1 2 ⩾ 1 . Отсюда следует, что 2 = 1 и 1 − 2 = 2 1 и лемма полностью доказана. 2 3. Полнота метрического пространства диагональных унимоду- лярных решёток Для доказательства требуемой полноты метрического пространства диагональных уни- модулярных решёток требуется показать, что для любая фундаментальная последователь- ность Коши диагональных унимодулярных решёток сходится. Другими словами, надо до- казать, что если для последовательности диагональных унимодулярных решёток Λ( 1 ) , Λ( 2 ) ,. . . , Λ( ) ,. . . выполняется условие, что для любого > 0 существует номер = ( ) такой, что для любых и больших справедливо неравенство (Λ( ) , Λ( )) < , то существует диагональная унимодулярная решётка Λ( ) такая, что lim →∞ (Λ( ) , Λ( )) = 0 . Указанное определение фундаментальности последовательности диагональных унимоду- лярных решёток можно переформулировать в терминах норм матриц. А именно, последова- тельность диагональных унимодулярных решёток Λ( 1 ) , Λ( 2 ) ,. . . , Λ( ) ,. . . является последо- вательностью Коши, если для любого > 0 существует номер = ( ) такой, что для любых и больших существуют матрицы , и , такие, что ‖ , − 2 ‖ , ‖ , − 2 ‖ < и выполняются равенства (︂ 0 0 1 )︂ = (︂ 0 0 1 )︂ · , , (︂ 0 0 1 )︂ = (︂ 0 0 1 )︂ · , ,