Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

Метрическое пространство двумерных диагональных унимодулярных решёток 39 Рассмотрим две диагональных решётки: Λ( 1 ) = Λ (︁ 1 , 1 1 )︁ , 1 > 0 и Λ( 2 ) = Λ (︁ 2 , 1 2 )︁ , 2 > 0 с базисными матрицами ( 1 ) = (︂ 1 0 0 1 1 )︂ · = (︂ 1 1 , 1 1 1 , 2 2 , 1 1 2 , 2 1 )︂ , = det = ± 1 , ( 2 ) = (︂ 2 0 0 1 2 )︂ · = (︂ 2 1 , 1 2 1 , 2 2 , 1 2 2 , 2 2 )︂ , = det = ± 1 , 1 , 2 ∈ 2 ( Z ) . Ясно, что ( 1 ) = ( 2 ) · , ( 2 ) = ( 1 ) · , где = − 1 ( 2 ) ( 1 ) , = − 1 ( 1 ) ( 2 ) . Легко находим, что − 1 ( 2 ) = − 1 (︂ 1 2 0 0 2 )︂ = (︂ 2 , 2 − 1 , 2 − 2 , 1 1 , 1 )︂(︂ 1 2 0 0 2 )︂ = (︃ 2 , 2 2 − 2 1 , 2 − 2 , 1 2 2 1 , 1 )︃ , − 1 ( 1 ) = − 1 (︂ 1 1 0 0 1 )︂ = (︂ 2 , 2 − 1 , 2 − 2 , 1 1 , 1 )︂(︂ 1 1 0 0 1 )︂ = (︃ 2 , 2 1 − 1 1 , 2 − 2 , 1 1 1 1 , 1 )︃ . Отсюда следует, что = (︃ 1 1 , 1 2 , 2 2 − 2 2 , 1 1 , 2 1 1 1 , 2 2 , 2 2 − 2 2 , 2 1 , 2 1 2 2 , 1 1 , 1 1 − 1 1 , 1 2 , 1 2 2 2 , 2 1 , 1 1 − 1 1 , 2 2 , 1 2 )︃ , = (︃ 2 2 , 2 1 , 1 1 − 1 1 , 2 2 , 1 2 2 2 , 2 1 , 2 1 − 1 1 , 2 2 , 2 2 1 1 , 1 2 , 1 2 − 2 2 , 1 1 , 1 1 1 1 , 1 2 , 2 2 − 2 2 , 1 1 , 2 1 )︃ . Лемма 1 . Пусть 1 ⩾ 2 , тогда (Λ( 1 ) , Λ( 2 )) ⩽ ln (︁ 2 1 2 − 1 )︁ . Доказательство. Действительно, если положить = (︃ 1 2 0 0 2 1 )︃ , = (︃ 2 1 0 0 1 2 )︃ , то справедливы равенства (︂ 2 0 0 1 2 )︂ (︃ 1 2 0 0 2 1 )︃ = (︂ 1 0 0 1 1 )︂ , (︂ 1 0 0 1 1 )︂ (︃ 2 1 0 0 1 2 )︃ = (︂ 2 0 0 1 2 )︂ . Так как ‖ − 2 ‖ = ‖ − 2 ‖ = 2 (︂ 1 2 − 1 )︂ , то (Λ( 1 ) , Λ( 2 )) ⩽ ln (︂ 1 + 2 (︂ 1 2 − 1 )︂)︂ = ln (︂ 2 1 2 − 1 )︂ и лемма полностью доказана. 2 Лемма 2 . Пусть 1 ⩾ 2 , Λ( 1 ) = · Λ( 2 ) и ‖ − 2 ‖ ⩽ < 1 , тогда 1 − 2 = 2 1 , где 0 ⩽ 1 ⩽ 2 . Доказательство. Так как матрица — унимодулярная и ‖ − 2 ‖ ⩽ < 1 , то = (︂ 1 + 1 2 3 1 + 4 )︂ , ‖ 1 ‖ , ‖ 2 ‖ , ‖ 3 ‖ , ‖ 4 ‖ ⩽ 2 < 1 2 , 1 + 1 + 4 + 1 4 − 2 3 = 1 .