Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

38 А. П. Крылов, Н. М. Добровольский Abstract The paper studies metric spaces of two-dimensional diagonal unimodular lattices. A theorem on the completeness of this metric space is proved. Keywords: metric lattice space, unimodular lattices, diagonal lattices, fundamental lattices. Bibliography: 1 title. For citation: A. P. Krylov, N. M. Dobrovolsky, 2022, "Metric space of two-dimensional diagonal unimodular lattices" , Notes of scientific seminars of the Tula School of Number Theory , Iss. 1, pp. 37–41. 1. Введение Как известно (см. [1], стр.165) множество всех -мерных решёток образуют полное метри- ческое пространство относительно метрики (Λ , Γ) , которая задана равенствами (Λ , Γ) = max(ln(1 + ) , ln(1 + )) , = inf Λ= · Γ ‖ − ‖ , = inf · Λ=Γ ‖ − ‖ , = ⎛ ⎜⎝ 1 . . . 0 ... . . . ... 0 . . . 1 ⎞ ⎟⎠ = ( ) 1 ⩽ , ⩽ , = {︂ 1 , при = , 0 , при̸ = , ‖ ‖ = · max 1 ⩽ , ⩽ | | . Цель нашей работы — рассмотреть подпространство двумерных диагональных унимоду- лярных решёток, доказать теорему о полноте этого пространства. 2. Пространство диагональных унимодулярных решёток Диагональные решётки — самый простой класс решёток. Они получаются растяжением по координатам фундаментальной двумерной решётки Z 2 : Λ( 1 , 2 ) = { ( 1 1 , 2 2 ) | 1 , 2 ∈ Z } , ( 1 , 2 > 0) . Диагональная унимодулярная решётка Λ( ) = Λ (︀ , 1 )︀ , > 0 . Всякая решётка имеет бес- конечно много базисов. Действительно, если 2 ( Z ) — линейная унимодулярная группа, со- стоящая из квадратных матриц второго порядка = (︂ 1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 )︂ , , ∈ Z ( , = 1 , 2) , det = 1 , 1 2 , 2 − 1 , 2 2 , 1 = ± 1 , то для любого базиса ⃗ 1 = ( 1 , 1 , 1 , 2 ) , ⃗ 2 = ( 2 , 1 , 2 , 2 ) решётки Λ все базисы имеют вид ⃗ ′ 1 = ⃗ 1 · , ⃗ ′ 2 = ⃗ 2 · , где ∈ 2 ( Z ) . Отсюда следует, что произвольная базисная матрица ( ) диагональной решётки Λ( ) имеет вид ( ) = (︂ 0 0 1 )︂ · = (︂ 1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 )︂ , ∈ 2 ( Z ) . Взаимная решётка Λ * ( ) = Λ (︀ 1 , )︀ имеет взаимную базисную матрицу * ( ) = (︂ 1 0 0 )︂ · * = (︂ 1 0 0 )︂ · (︂ 2 , 2 − 2 , 1 − 1 , 2 1 , 1 )︂ = (︂ 2 , 2 − 2 , 1 − 1 , 2 1 , 1 )︂ .