Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

34 Н. Н. Добровольский, С. А. Скобельцын, Л. А. Толоконников 2. Математическая модель и методы решения В работе рассматривается однородное изотропное упругое сфероидальное тело, находяще- еся в безграничном пространстве, заполненном идеальной жидкостью. Для определенности будем полагать сфероид вытянутым. Из внешнего пространства на тело произвольным об- разом падает плоская монохроматическая звуковая волна, которую описываем потенциалом смещения частиц жидкости в звуковой волне. В результате отражения падающей звуковой волны от упругого тела формируется отраженное акустическое поле в жидкости, а в самом теле возникают упругие колебания. Рассеянное акустическое поле будем характеризовать по- тенциалом смещения в рассеянной волне, а волновое поле в упругом сфероиде – вектором смещения частиц тела. Требуется определить акустическое поле, рассеянное сфероидом. Для решения задачи введем в рассмотрение декартову систему координат с началом в центре сфероида. С декартовой системой свяжем сферическую систему координат. Решение проводится в рамках моделей гидродинамики идеальной жидкости и линейной теории упру- гости. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся коле- баний описывается уравнением Гельмгольца относительно потенциала смещения частиц жид- кости в полном акустическом поле, образованном суперпозицией полей падающей и рассеян- ной волн. Скорость частиц и акустическое давление в жидкости определяется через потенциал смещения. Установившиеся колебания в однородном изотропном упругом сфероиде описывается урав- нением Ламе в векторном виде или эквивалентной системой дифференциальных уравнений Ламе через компоненты вектора смещений. Компоненты тензора малых деформаций опреде- ляются через компоненты вектора смещений. Тензор напряжений связан с тензором дефор- маций обобщенным законом Гука. Граничные условия на поверхности сфероида, соприкасающихся с жидкостью, заключа- ются в равенстве нормальных смещений частиц упругой среды и жидкости, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений. Кроме того, для потенциала смещения в рассеянной волне должны выполняться условия излучения на бесконечности. Таким образом, в математической постановке задача состоит в нахождении решений урав- нений Гельмгольца и Ламе, удовлетворяющих граничным условиям и условиям излучения на бесконечности. Искомыми функциями являются потенциал смещения в рассеянном поле и вектор смещения частиц упругой среды. Поставленная задача решена методом граничных интегральных уравнений. Согласно методу интегральных уравнений рассеянное телом акустическое поле записыва- ется в виде интеграла Кирхгофа-Гельмгольца. В качестве функции Грина выбрана функция Грина для свободного пространства, удовлетворяющая неоднородному уравнению Гельмголь- ца и условиям излучения на бесконечности. Используя граничные условия, приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, в котором в качестве неизвестных функций выступают потенциал смещения в рассеян- ной волне и компоненты вектора смещения в упругом материале на поверхности сфероида. Для нахождения компонентов вектора смещения в упругом теле воспользуемся фунда- ментальным решением уравнения движения упругой среды в форме уравнения Ламе. В ре- зультате получаем интегральное уравнение относительно неизвестных компонент смещений и напряжений на поверхности сфероида. Таким образом, интегральная формулировка поставленной задачи выглядит следующим образом: требуется найти решение двух интегральных уравнений. Для численного решения полученных интегральных уравнений проводится их дискретиза- ция. Поверхность сфероида разбивается на достаточно малые участки так, чтобы изменение