Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

О рассеянии звука упругим сфероидом 33 Abstract The paper gives a qualitative description of the solution of the sound scattering problem by an elastic spheroid. Keywords: рассеяние звука, упругий сфероид, звуковое поле. Bibliography: 5 title. For citation: N. N. Dobrovolsky, S. A. Skobeltsyn, L. A. Tolokonniko, 2022, "On sound scattering by an elastic spheroid" , Notes of scientific seminars of the Tula School of Number Theory , Iss. 1, pp. 32–36. 1. Введение Рассматривается задача о рассеянии плоской гармонической звуковой волны упругим сфе- роидом. Многие реальные объекты могут быть достаточно хорошо аппроксимированы телами сфе- роидальной формы. Известен ряд работ, посвященных изучению рассеяния звука на упругих сфероидах (например, [1, 2]). При этом расчет характеристик рассеянных акустических полей, выраженных в интегральной форме оказывается весьма сложным. Одним из возможных подходов к решению задачи дифракции звука на упругом сферо- иде является использование метода граничных интегральных уравнений [3]. Метод основан на интегральном представлении рассеянного звукового поля в форме Кирхгофа-Гельмгольца. Эта форма имеет вид интеграла по поверхности тела, подынтегральное выражение которо- го содержит известные характеристики поля на поверхности рассеивателя и функцию Гри- на. Представление рассеянной звуковой волны в форме Кирхгофа-Гельмгольца приводит к необходимости приближенного решения интегральных уравнений относительно потенциала скорости или смещения в рассеянном поле на поверхности тела. Численная реализация метода граничных интегральных уравнений имеет ряд ограниче- ний. Одно из них связано с обеспечением требуемой точности приближенного решения инте- грального уравнения. При дискретизации интегрального уравнения для получения удовлетво- рительной точности возникает необходимость разбиения поверхности, по которой осуществ- ляется интегрирование, на интервалы длиной не более одной десятой длины звуковой волны. Это ограничивает волновые размеры тела, так как порядок системы алгебраических уравне- ний, возникающей при дискретизации, не должен быть слишком большим для возможности практических вычислений. Таким образом, возникает проблема построения сетки со сравни- тельно небольшим числом узлов, чтобы решение задачи с требуемой точностью было пригодно в широком диапазоне волновых размеров тела. Другая проблема связана с тем, что использование функций источника приводит к тому, что подынтегральные функции часто имеют особенности и для вычисления таких интегралов приходится использовать специальные приемы. В работе [4] на основе решения эталонной задачи дифракции сферической звуковой волны на абсолютно жесткой сфере проведен сравнительный анализ решений интегральных уравне- ний с помощью классических формул численного интегрирования и формул, построенных на теоретико-числовых сетках. В настоящей работе поставлена задача оценки эффективности использования формул чис- ленного интегрирования, построенных на теоретико-числовых сетках, при решении задачи рассеяния звука на упругом сфероидальном теле. Отметим, что проблема построения теоретико-числовых сеток возникает при применении теоретико-числового метода в приближенном анализе, в том числе, для численного интегри- рования, решения линейных интегральных уравнений, интерполирования функций многих переменных.