Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

Актуальные задачи теоретико-числового метода в приближенном анализе 27 К числу наиболее важных и перспективных направлений по теоретико-числовому методу в приближенном анализе относятся: 1. исследование дзета-функций, соответствующих подгруппам мультипликативной группы поля вычетов по простому модулю; 2. применение результатов из теории рядов Дирихле и L-функций Дирихле к исследованию гиперболической дзета-функции решеток и гиперболической дзета-функции сеток с весами, имеющих важное значение для построения эффективных теоретико-числовых многомерных квадратурных и интерполяционных формул, а также решения линейных интегральных урав- нений и уравнений с частными производными; 3. проблема совместных приближений алгебраических чисел чисто вещественных алгебра- ических полей рациональными числами, сформулированная как проблема приближения ал- гебраической решётки целочисленной; 4. приложение теоретико-числового метода к описанию волновых процессов; 5. приложение теоретико-числового метода к решению эконометрических задач. Выполнение этих фундаментальных исследований непосредственно связано с проблемой их прикладного применения полученных результатов. Разработка прикладного программного обеспечения, реализующего теоретико-числовой метод Коробова, позволит повысить точность численных решений в задачах механики и физики. В области теоретико-числовых методов в приближенном анализе предполагается решение следующих задач: 1. изучение дзета-функций, соответствующих подгруппам мультипликативной группы по- ля вычетов по простому модулю, средствами универсальности дзета-функции Римана и L- функций Дирихле; 2. поиск новых форм функционального уравнения для гиперболической дзета-функции декартовых решёток, которые допускали бы предельный переход; 3. изучение совместных приближений алгебраических чисел чисто-вещественных алгебраи- ческих полей в терминах приближения алгебраических решёток целочисленными решётками; К числу основных задач по совершенствованию численных методов: 1. получение наборов оптимальных коэффициентов для небольших размерностей, обеспе- чивающих точность выше чем у метода Монте Карло; 2. исследование различных методов периодизации функций многих переменных; 3. построение алгоритмов аппроксимации и интерполяции функций многих переменных в виде конечного ряда Фурье, по различным теоретико-числовым сеткам; 4. выделение классов задач механики и физики для применения соответствующих числен- ных методов. К числу задач по развитию современного анализа Фурье: 1. изучение свойств обобщенного преобразования Фурье и построение операторов обобщен- ного сдвига в функциональных пространствах на евклидовом пространстве с весом; 2. исследование обобщенного потенциала Рисса и обобщенных преобразований Рисса. К числу основных задач по информационной составляющей проекта относятся: 1. разработка прикладного программного обеспечения, реализующего теоретико-числовые методы; 2. разработка методических рекомендаций по применению ПО к задачам механики и фи- зики. Предполагаемые (ожидаемые) результаты За весь срок выполнения проекта будет выполнено: 1. построение теории дзета-функций, соответствующих подгруппам мультипликативной группы поля вычетов по простому модулю;