Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

26 М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва Получение новых результатов в теории распределения простых чисел, среди которых – распределение простых чисел в специальных подмножествах натурального ряда, оценки три- гонометрических сумм с простыми числами, исследование поведения сумматорных функций для ряда арифметических функций в случае, когда переменная суммирования пробегает про- стые числа. Исследование свойств решений диофантовых уравнений. 1.1.1.3. Математический анализ (Иванов В. И.) Развитие современного анализа Фурье, включая теорию сингулярных интегральных опе- раторов, тригонометрический и нетригонометрический гармонический анализ и смежные во- просы. 1.1.1.7. Математическая физика (Толоконников Л. А., Скобельцын С А.) Исследование и разработка методов решения обратных и некорректных задач для урав- нений математической физики и их приложений в геофизике, квантовой физике, механике, биологии, химии, медицине и др. Построение и исследование точных, асимптотических и приближенных решений диффе- ренциальных уравнений, возникающих в линейных и нелинейных моделях естествознания, в том числе уравнений квантовой механики, теории поля, кинетической теории и механики сплошных сред, включая системы уравнений газовой динамики, магнитной гидродинамики, радиационной магнитной гидродинамики, динамики несжимаемой жидкости, теории упруго- сти, аэродинамики, переноса (излучения, тепломассопереноса и др.). Фундаментальные исследования проводятся на стыке работ четырёх научных школ – Туль- ской школы теории чисел (руководитель Добровольский Н. М.), Московской школы аналити- ческой теории чисел (руководитель Чубариков В. Н.), Тульской школы теории приближений (руководитель Иванов В. И.) и Тульской школы акустики (руководитель Толоконников Л. А.). Одним из результатов фундаментальных исследований Тульской школы теории чисел яв- ляется совершенствование численных методов, основанных на тригонометрических суммах, наиболее полно описанных в работах Московской школы аналитической теории чисел, позво- ляющих рассматривать приближения многомерных функций рядами Фурье. Наиболее полную картину описания функциональных пространств можно получить, ис- пользуя методы Тульской школы теории приближений. В Тульской школе акустики получены результаты, позволяющие описывать решения за- дач рассеивания акустических полей в виде специальных рядов по ортогональным система функций. Исследования на стыке направлений научных школ позволят получить как новые фун- даментальные результаты, так и усовершенствовать численные методы для широкого класса задач. Цель научного исследования — проведения фундаментальных исследований по анали- тической теории чисел и теоретико-числовому методу в приближенном анализе, исследование функциональных пространств; совершенствование на основе полученных результатов численных методов решения задач интегрирования, интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в частных произ- водных; применение численных методов при решении задач механики и физики; разработка при- кладного программного обеспечения. Актуальность проблемы, предлагаемой к решению Исследования по аналитической теории чисел и по теоретико-числовому методу в прибли- женном анализе успешно проводятся в Тульской школе теории чисел (руководитель Н. М. Добровольский).