Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

24 М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва бо через гиперболическую дзета-функцию решетки, поэтому основные проблемы теоретико- числового метода приближенного анализа непосредственно связаны с изучением гиперболиче- ской дзета-функции решеток и гиперболической дзета-функции сеток с весами. Это необходи- мо для построения эффективных алгоритмов вычисления оптимальных многомерных квад- ратурных и интерполяционных формул на основе теоретико-числовых свойств используемых сеток. Оба типа дзета-функций в правой полуплоскости задаются рядами Дирихле, а дзета- функции, соответствующие мультипликативно-замкнутым системам целых чисел, выражают- ся через L-функции Дирихле. Пространство решёток является полным метрическим пространством, так как с алгебра- ической точки зрения оно изоморфно факторгруппе полной линейной группы матриц по под- группе унимодулярных матриц, то на нём можно задать структуру гладкого многообразия. Возникает задача явного описания гладкого многообразия решёток и изучение дифференци- альных свойств основных функций на нём. В теоретико-числовом методе приближенного анализа важной проблемой является при- ближение алгебраических сеток, построенных с помощью чисто вещественных алгебраических полей, рациональными сетками, соответствующим целым решёткам. Поэтому изучение вопро- сов диофантовых приближений алгебраических решёток чисто вещественных алгебраических полей целыми решётками имеет большое значение для развития теоретико-числового метода в приближенном анализе. Основными объектами исследования являются: пространство решеток; гиперболическая дзета-функция решеток; гиперболическая дзета-функция сеток с весами; гладкое многообра- зие решёток. Основные задачи данного проекта состоят в изучении гиперболической дзета-функции произвольных решеток и алгоритмов её вычисления; оценки гиперболической дзета-функции сеток с весами; изучении матричных разложений алгебраических иррациональностей чисто вещественных алгебраических полей; приложение полученных результатов к многомерным квадратурным формулам. Для решения указанных проблем будут использоваться методы алгебраической теории чисел и диофантова анализа, геометрии чисел, аналитической теории чисел, теории рядов Дирихле. В данном проекте предлагается объединить традиционные методы геометрии чисел с методами дифференциальной геометрии, это необходимо для построения теории гладких многообразий многомерных теоретико-числовых решёток. Особую роль в исследовании будет играть изучение решёток Дирихле диофантовых при- ближений. Уже в двумерном случае при иррациональном значении параметра данная решётка не является декартовой, поэтому до сих пор ничего не известно об аналитическом продолже- нии её гиперболической дзета-функции решётки. Данный класс решёток является подмного- образием унимодулярных решёток со значением гиперболического параметра равным 1. Де- тального описания данного гладкого многообразия ещё неизвестно, и даже его свойства как метрического пространства также не описаны. На наш взгляд исследование решёток Дирихле диофантовых приближений и их гипер- болических дзета-функций решёток является перспективным и может служить модельным случаем для изучения аналитических свойств гиперболической дзета-функции решёток. Оригинальным является подход о приближении произвольной решетки последователь- ностью декартовых решеток и переход к пределу соответствующих гиперболических дзета- функций решеток. В данном проекте предполагается применить свойства универсальности дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, которые ранее в этой тематике не применя- лись. Для построения аналитического продолжения гиперболической дзета-функции решёток будут изучаться возможности абелевского преобразования для интегрального представления данного класса рядов Дирихле и возможности предельного перехода в сумматорной функции,