Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

Актуальные задачи теоретико-числового метода в приближенном анализе 23 Для произвольного основного моноида типа получены оценки снизу и сверху для энтро- пии. На 2023 год намечены следующие актуальные направления: 1. Исследовать области абсолютной сходимости дзета-ряда для дзета-функции моноида натуральных чисел. Так как каждый такой ряд является рядом Дирихле, то для него опре- делено понятие абсциссы абсолютной сходимости. Планируется получить условия, связываю- щие плотность распределения элементов моноида натуральных чисел и абсциссы абсолютной сходимости дзета-функции моноида. Здесь подразумевается рассмотреть следующие случаи: степенная плотность и логарифмическая -степенная плотность. Исходя из функции рас- пределения элементов моноида, получить интегральное представление для дзета-функции мо- ноида с помощью теоремы Абеля и найти полюс с помощью асимптотической формулы для функции распределения со степенной плотностью. По-видимому, в случае логарифмической -степенной плотности абсцисса абсолютной сходимости всегда равна 0. 2. Получить условия для аналитического продолжения дзета-функции моноида натураль- ных чисел. Здесь так же подразумевается рассмотреть следующие случаи: степенная плот- ность и логарифмическая -степенная плотность. По-видимому, эти два случая имеют принципиальное различие. В первом случае должен быть полюс на вещественной прямой с координатой равной абсциссе абсолютной сходимости и можно продолжить аналитически дзета-функцию за вертикальную прямую с этой абсциссой. Во втором случае можно пред- положить, что всегда мнимая ось будет границей области голоморфности соответствующей дзета-функции моноида натуральных чисел. 3. Найти новые свойства алгебры рядов Дирихле моноидов натуральных чисел и её струк- туры. В частности, ранее авторам удалось с помощью теоремы универсальности С. М. Воро- нина доказать слабую форму теоремы универсальности для широкого класса дзета-функций моноидов натуральных чисел. Было бы интересно выяснить какие элементы доказательства С. М. Воронина непосредственно переносятся на этот класс дзета-функций моноидов нату- ральных чисел? Например, достаточно очевидно, что доказательство С. М. Воронина должно проходить, если из множества простых удалить любое конечное множество простых. Более проблематично, если удалить экспоненциальную последовательность простых. Слабая тео- рема универсальности должна получиться для отношения дзета-функции Римана и дзета- функции основного моноида типа . 4. Получить новые оценки приближенного интегрирования на классах функций, определяе- мых моноидами натуральных чисел. Здесь предполагается продолжить исследования, начатые в статье авторов «Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближен- ном анализе». В частности, интересно было бы найти обобщение понятия допустимого набора оптимальных коэффициентов для моноида чисел сравнимых с 1 по модулю . 5. Найти примеры использования моноидов натуральных чисел в абстрактной теории чи- сел и в приложениях к термодинамике многочастичных систем. В частности, предполагается завершить исследование по энтропии моноидов с экспоненциальной последовательностью про- стых и для основного моноида типа . 3. Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико- числовом методе в приближенном анализе В 2023 году начинается выполнение проекта "Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе в приближенном анализе" по гранту РНФ 23-21-00317. В заявке на проект было указано следующее: Нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций из класса Коробова выражается либо через гиперболическую дзета-функцию сетки с весами, ли-