Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

22 М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва ♯ , ( ) = ♯ { ∈ : ( ) ⩽ } (1) элементов ∈ , для которых ( ) не превосходит , конечно для любого ∈ N . Будем обозначать -ю компоненту элемента ∈ через . Таким образом, = ∑︀ ∞ =1 ( ) , где ( ) = (0 , 0 , . . . , 1 , 0 , . . . ) (в j- позиции стоит единица, а остальные компоненты равны нулю), = 1 , 2 , . . . — образующие полугруппы . Как отмечается в работе Д. С. Миненкова, В. Е. На- зайкинского, фактически сумма конечна, так как у любого ∈ лишь конечное число ненуле- вых компонент. Гомоморфизм арифметической полугруппы в мультипликативный моноид N имеет вид ( ) = ∞ ∏︁ =1 , где = ( ( ) ) ⩾ 1 , → ∞−−−−→∞ . (2) Ясно, что образ = ( ) является моноидом натуральных чисел. В работе Н. Н. Добровольского в 2017 году начато систематическое изучение дзета- функций моноидов натуральных чисел и законов распределения простых элементов в этих моноидах. Если, следуя за Б. М. Бредихиным, рассмотреть дзета-функцию гомоморфизма арифметической полугруппы : ( , | ) = ∑︁ ∈ 1 ( ( )) = ∑︁ ∈ ( ) , где весовая функция ( ) — число прообразов в арифметической полугруппе у натураль- ного числа ∈ , то мы приходим к новому понятию — дзета-функция моноида с весовой функцией. Такая конструкция встречалась ранее в работе Н. Н. Добровольского, когда раскладыва- лось в ряд Дирихле произведение Эйлера моноида без однозначного разложения на простые элементы. Нетрудно видеть, что можно задать сюръективный гомоморфизм арифметической полугруппы на N с неединичной весовой функцией. Например, ( (2 − 1) ) = ( (2 ) ) = , — -ое простое число ( = 1 , 2 , . . . ) . Если ( ) — количество всех простых делителей в разло- жении числа на простые делители, то ( ) = 2 ( ) в этом случае. Аналогичные примеры можно построить для любого моноида натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы. Отметим ещё одно важное обстоятельство: образы абстрактных простых чисел из не обязаны быть простыми элементами в моноиде = ( ) . В работе Д. С. Миненкова, В. Е. Назайкинского рассматривается важная для статистиче- ской физики характеристика энтропии S ( ) = ln ♯ , ( ) и изучается её асимптотика. Обобщая эту ситуацию, можно для любого моноида натуральных чисел рассмотреть функцию ( ) = ∑︀ ∈ , ⩽ 1 распределения элементов моноида и функцию энтропии S ( ) = ln ( ) . Чтобы различать энтропию арифметической полугруппы с гомоморфиз- мом , мы будем писать S , ( ) = ln ♯ , ( ) , где = ( ) . В рамках выполнения проекта была поставлена цель — рассмотреть вопрос об асимптоти- ки энтропии для некоторых моноидов натуральных чисел и моноидов натуральных чисел с весовой функцией. Были рассмотрены моноиды типа геометрической прогрессии с весовой функцией. Пусть ⩾ 2 — натуральное число и 1 ( ) = { 1 , , 2 , . . . , , . . . } — мультипликативный моноид, геометрическая прогрессия со знаменателем , и 2 ( ) = { 1 , 2 , 4 , 6 . . . } — мультипликатив- ный моноид, геометрическая прогрессия со знаменателем 2 . Для них были получены оценки энтропии в случае стандартных гомоморфизмов арифметической полугруппы. Были получены асимптотики для энтропии произвольного моноида с экспоненциальной последовательностью простых типа .