Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

Актуальные задачи теоретико-числового метода в приближенном анализе 21 Полученные результаты аналогичны ранее полученным авторами при решении обратной задачи для моноидов, порожденных произвольной экспоненциальной последовательностью простых чисел типа . Для основных моноидов ( P ( )) типа остается открытым вопрос о существовании логарифмической 1/2-степенной плотности и величине константы . 2. При выполнении проекта изучались алгебраические структуры, возникающие относи- тельно операции умножения двух множеств натуральных чисел. Основными объектами изу- чения выступают моноид MN моноидов натуральных чисел и моноид SN произведений про- извольных подмножеств натурального ряда. Также моноидом будет SN * = SN ∖ {∅} . Важным свойством этих моноидов является тот факт, что множество всех идемпотентов в моноиде SN , кроме нулевого элемента, совпадает с множеством идемпотентов моноида SN * и образует моноид MN . Наличие такого факта позволило рассмотреть порядок. Относительно порядка ⩽ и бинарных операций inf , sup моноид MN является не модулярной, полной А-решёткой. В работе различаются понятия А-решётки как объекта общей алгебры и Т-решётки как объекта теории чисел и геометрии чисел. В работе определена структура полного метрического пространства с неархимедовой мет- рикой на моноиде SN . Это позволило доказать теорему о сходимости последовательности ря- дов Дирихле по сходящимся последовательностям натуральных чисел. Если рассмотреть произведение двух дзета-функций моноидов натуральных чисел, то оно будет дзета-функцией моноида натуральных чисел только тогда, когда эти моноиды взаимно просты. В общем случае их произведение будет рядом Дирихле с натуральными коэффициен- тами по моноиду, равному произведению моноидов сомножителей. Этот моноид, порожденный дзета-функциями моноидов натуральных чисел, обозначается через MD . Показано что моно- иды MN и MD неизоморфны. В процессе работы по проекту были определены две малые категории ℳ и и изу- чены некоторые их свойства. В статье, подготовленной по этим вопросам, заложены основы алгебраической теории дзета-функций моноидов натуральных чисел. Возникают естественные вопросы, как те или иные общие алгебраические и функциональные конструкции реализуются в конкретной структуре множества дзета-функций моноида натуральных чисел. Решение этих вопросов предполагается осуществить в последующих работах. 3. Решался вопрос о возможности предельного перехода аналитических продолжений. Вы- делена первая компонента гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле, которая равна первой компоненте гиперболической дзета-функции взаимной решёт- ки. Установлен парадоксальный факт, что она непрерывна для любого иррационального и разрывна во всех рациональных точках . В следующем году планируется подготовить статью по этим вопросам, которая покажет разницу между дзета-функцией решетки приближений Дирихле и дзета-функцией моноидов с экспоненциальной последовательностью простых и дзета-функцией основного моноида, для которых нами показано, что их область голоморф- ности является вся правая полуплоскость правее мнимой оси, а мнимая ось вся состоит из особых точек этих дзета-функций. 4. В цикле работ Д. С. Миненкова, В. Е. Назайкинского, В. П. Маслова, С. Ю. Доброхотова и В. Л. Чернышева изучалось применение абстрактной теории чисел к статистической физике. В частности, в этих работах рассматривается такое понятие как энтропия для заданной ( , ) – арифметической полугруппы. Рассмотрим частный случай арифметической полугруппы. Будем называть арифметиче- ской полугруппой прямую сумму = ⨁︀ ∞ =1 Z + счетного числа экземпляров полугруппы Z + = { 0 , 1 , 2 , . . . } неотрицательных целых чисел вместе с гомоморфизмом : −→ N в мультипликативный моноид N натуральных чисел таким, что число