Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 1. 2022 г.

20 М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва 2. Дзета-функция моноидов натуральных чисел и смежные во- просы В 2022 году начато выполнение проекта "Дзета-функция моноидов натуральных чисел и смежные вопросы" по гранту РНФ 22-21-00544. В заявке на проект было указано следующее: Ряды Дирихле и всевозможные дзета-функции являются важным направлением исследо- ваний в аналитической теории чисел. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе, созданный в рамках работ по отечественному атомному проекту, является ярким примером эффективного применения результатов аналитической теории чисел, геометрии чисел и тео- рии диофантовых приближений к решению прикладных задач. При исследовании погрешности приближенного интегрирования с помощью обобщенных параллелепипедальных сеток возникает гиперболическая дзета-функция решёток. В асимп- тотической формуле для гиперболической дзета-функции алгебраических решёток возникает дзета-функция Дедекинда главных идеалов чисто вещественного алгебраического поля. Эта дзета-функция является наиболее важным примером дзета-функции моноидов натуральных чисел. Изучение общей теории дзета-функций моноидов натуральных чисел ставит новые задачи, которых нет в теории дзета-функции Римана. Её богатство объектов изучения объясняется тем фактом, что имеется несчетное множество моноидов натуральных чисел, которые делятся на два несчетных множества: моноиды с однозначным разложением на простые элементы (среди них как простые числа, так и псевдо-простые) и моноиды без однозначного разложения. Для первого типа моноидов имеет место разложение дзета-функции в произведение Эйлера по простым элементам, для второго типа моноидов дзета-функция не разлагается в такое произведение. Абсцисса абсолютной сходимости дзета-функции моноидов натуральных чисел меняется от 0 до 1 и принимает любые значения в этом диапазоне. Для некоторых моноидов натуральных чисел удается получить асимптотическую формулу для числа простых элементов с предельной оценкой остаточного члена константой 2. Для таких моноидов дзета-функция имеет область голоморфности правую полуплоскость, а мнимая ось является осью особых точек. В результате выполнения проекта будут получены связи между плотность распределения элементов моноида натуральных чисел и абсциссы абсолютной сходимости дзета-функции этого моноида. Будут найдены аналитические продолжения дзета-функции моноида натуральных чисел для новых типов моноидов. Изучены возможности использования моноидов натуральных чисел в абстрактной теории чисел и в приложениях к термодинамике многочастичных систем. За 2022 год в рамках выполнения этого проекта были получены следующие результаты: 1. Для произвольного основного моноида ( P ( )) типа решена обратная задача, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида ( P ( )) , исходя из асимптотики распределения псевдопростых чисел P ( ) типа . Для решения этой задачи рассматриваются два гомоморфизма основного моноида ( P ( )) типа и задача о распределении сводится к аддитивной задаче Ингама. Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает. Вве- дено новое понятие логарифмической -степенной плотности. Показано, что любой моноид ( P ( )) для последовательности псевдопростых чисел P ( ) типа имеет оценки сверху и снизу для функции распределения элементов основного моноида ( P ( )) типа . Показано, что если логарифмическая -степенная плотность для основного монои- да ( P ( )) типа существует, то = 1 / 2 и для константы справедливы неравенства √︁ 1 3 ln ⩽ ⩽ √︁ 2 3 ln .