Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2025 184 Такие сетки соединяли бы в себе достоинства как равномерных, так и нерав- номерных сеток, так как точность соответствующих квадратурных формул воз- растала бы при возрастании гладкости функции. В определении Н. М. Коробова говорится о > 1 – целое, = ( )( = 1, 2, … , ) – целые взаимно простые с и величина ( ) равна единице или нулю, смотря по тому, делится на или нет. Если существуют константы = ( ) и 0 = 0 ( ) такие, что для некоторой бесконечной последовательно- сти значений выполняется неравенство ∑ ( 1 1 +⋯+ ) 1 … ≤ 0 ln , −1 1 ,… , = −( −1) (1) то целые 1 , … , будем называть оптимальными коэффициентами, а кон- станту – их индексом. Из определения видно, что величины 1 , … , являются функциями . Чтобы подчеркнуть эту зависимость от , мы будем иногда вместо термина «оп- тимальные коэффициенты» употреблять термин «оптимальные коэффициенты по модулю ». Следующая лемма показывает, что существуют оптимальные коэффици- енты с индексом, равным . Лемма 1. (см. [1, с. 96]) Для всякого простого существуют взаимно про- стые с целые = ( ) ( = 1, 2, … , ) такие, что ∑ ( 1 1 +⋯+ ) 1 … < 2(3+2 ln ) −1 1 ,… , = −( −1) . Доказательство. Покажем прежде всего, что для любых целых 1 , … , , не делящихся одновременно на , выполняется оценка ∑ ( 1 1 + ⋯+ ) ≤ ( − 1) −1 −1 1 ,…, =1 . (2) Действительно, пусть для определённости не кратно . Тогда, пользуясь следствием леммы 1 из книги Н.М. Коробова (см. [1, с. 19]), получим ∑ ( 1 1 + ⋯+ ) = 1 =1 , ∑ ( 1 1 + ⋯+ ) ≤ −1 1 ,…, =1 ∑ ∑ ( 1 1 + ⋯+ ) = ( − 1) −1 =1 −1 1 ,…, −1=1 , что совпадает с оценкой (2). Далее в доказательстве полагаем ( 1 , … , ) = ∑ ( 1 1 +⋯+ ) 1 … −1 1 ,… , = −( −1) и приходим к ( 1 , … , ) ≤ 1 ( − 1) � ( − 1) −1 1 … ≤ 1 − 1 �1 + 2 � 1 −1 =1 � −1 1 ,…, = −( −1) < 2 �3 + 2� � = 2(3 + 2 ln ) Из доказательства видно, что лемма 1 не только доказывает существование оптимальных коэффициентов, но и позволяет вычислять их для каждого про- стого и любого ≥ 1 .