Университет XXI века: научное измерение

Естественные и точные науки 215 ( ) ( ) 1 g x F x = − . Неравенство (1) примет вид [ ] ( ) ( ) ( ) 0, , 0,1 g xy xg y yg x x y − − ≥ ∈ , (2) где 1 , 1 x s y t = − = − . Рассмотрим кубические функции вида ( ) ( )( ), 0, 0 1 2 F u Au u u A α α β β α = − − − > < < < < . (3) При переходе к функциям ( ) g x делаем замену 1 u x = − , в результате кото- рой получаем ( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 1 1 F u Au u u A x x x α β α β = − − − = − − − − − − = ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 1 1 1 1 A x x x A x x x α β α β = − − − − − − = − − − − − . Таким образом, функции ( ) g x получаются следующего вида: ( ) ( 1)( )( ) g x A x x a x b = − − − , (4) где 1 1 , 1 , 0 1 2 a a b a b α β + = − = − < < < < . (5) Функции ( ) g x должны быть дважды непрерывно дифференцируемы, их первые производные ( ) 0 g x ′ < на промежутке [0,1] и значения (1) 0 g = . Значительно проще, чем при проверке неравенства (1), можно доказать сле- дующие утверждения. Утверждение 1 . Если точка перегиба функции ( ) g x вида (4), (5) не принад- лежит промежутку ( ) 0;1 / 3 , то ( ) g x удовлетворяет неравенству (2). Утверждение 2 . Если точка перегиба функции ( ) g x вида (4), (5) принадле- жит промежутку ( ) 0;1 / 3 , то ( ) g x не удовлетворяет неравенству (2). Для функций ( ) F u вида (3) получаются следующие утверждения. Утверждение 3 . Если точка перегиба функции ( ) F u вида (3) не принадле- жит промежутку ( ) 2 / 3;1 , то ( ) F u удовлетворяет неравенству (1). Утверждение 4 . Если точка перегиба функции ( ) F u вида (3) принадлежит промежутку ( ) 2 / 3;1 , то ( ) F u не удовлетворяет неравенству (1). Замечание . Исследование неравенств типа (1) началось в работах [2], [3] и продолжается в настоящее время. Литература 1. Денисов И. В. Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингу- лярно возмущенных параболических уравнений с квадратичной нелинейностью // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2017. Т. 57. № 2. С. 255–274. 2. Денисов И. В. О классах функций, определяемых функциональными не- равенствами // Изв. Тул. гос. ун-та, 2000. Т. 6. Вып. 1. С. 79–84. Сер. Математика. Механика. Информатика. 3. Денисов И. В. О некоторых классах функций // Чебышевский сб. 2009. Т. 10. Вып. 2. С. 79–108.