Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2024 214 А. И. Денисов, И. В. Денисов Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого О РЕШЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ В КЛАССЕ МНОГОЧЛЕНОВ Аннотация. При исследовании краевых задач для нелинейных сингулярно возмущен- ных эллиптических и параболических уравнений был сформирован нелинейный метод угло- вых пограничных функций. В рамках этого метода используется метод верхних и нижних ре- шений, применение которого предполагает построение барьерных функций и последующее доказательство необходимых функциональных неравенств. Одно из таких неравенств рас- сматривается в предлагаемой работе. Ключевые слова: нелинейные краевые задачи, барьерные функции, функциональные не- равенства. При исследовании краевых задач для нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений был сформирован нелинейный ме- тод угловых пограничных функций. Одним из этапов этого метода является до- казательство существования подходящих решений нелинейных краевых задач специального вида. Для этого используется метод верхних и нижних решений, применение которого предполагает построение барьерных функций и последу- ющее доказательство необходимых функциональных неравенств. Рассмотрим одно из таких неравенств: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 F s t st s F t t F s + − − − − − ≥ , (1) где s и t принадлежат промежутку [ ] 0,1 . Предполагается, что функции ( ) F u дважды непрерывно дифференцируемы, их первые производные ( ) 0 F u ′ > на промежутке [ ] 0,1 и значения (0) 0 F = . Для линейных функций ( ) , 0 F u Au A = > , неравенство (1) выполняется: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) F s t st s F t t F s + − − − − − = ( ) ( ) ( ) 1 1 0 A s t st s At t As Ast = + − − − − − = ≥ . Квадратичные функции ( ) ( ), 0, 0 F u Au u A α α = − > < , и ( ) ( ), 0, 0 F u Au u A α α = − − > > , исследованы в работе [1]. Для нелинейных функций проверка неравенства (1) оказывается достаточно громоздкой процедурой. Но ее можно упростить, если учесть следующие преоб- разования: ( )( ) 1 1 1 s t st s t + − = − − − , ( ) 1 1 s s = − − , ( ) 1 1 t t = − − , и рассмотреть функцию