Университет XXI века: научное измерение

Фундаментальная математика. Методика преподавания математики. Физика 87 новки их. Таким образом, R является множеством, замкнутым относительно взя- тия обратных и циклических перестановок определяющих слов. Пусть F – сво- бодная группа с базисом X . R – диаграмма для группы G представляет ориентированную односвязную карту ∆ с функцией f такой, что: для каждого ориентированного ребра r из ∆ значение ( ) f r является меткой из F так, что для противоположно ориентирован- ного ребра 1 r − имеем 1 1 ( ) ( ( )) f r f r − − = и, если 1 ,..., n u r r = является граничным циклом некоторой области карты ∆ , то 1 ( ) ( ) ... ( ) n f u f r f r R = ⋅ ⋅ ∈ . Как показано в [1] после удаления поддиаграмм, в которых ровно две обла- сти и граничная метка которых равна единице в свободной группе F, а также по- следующих зашиваний любая диаграмма без изменения граничной метки может быть преобразована к приведенному виду. Условие (1/ ) C p ′ означает, что при сокращении произведения любых двух не взаимно обратных определяющих слов поглощается меньше, чем 1/ p длины каждого из них. Условие ( ) T q означает, что, при образовании всевозможных произведений для h (3 ) h q ≤ < не взаимно обратных определяющих слов, хотя бы одно произ- ведение будет неприводимо (несократимо). Для приведенной R – диаграммы ( ) 1/ T q p − − группы по условию (1/ ) C p ′ по- лучаем, что внутренняя область имеет не менее 1 + p пограничного ребра ( ( ) 1 d S p ≥ + ), а из условия ( ) T q следует, что не менее q ориентированных ре- бер инцидентно каждой внутренней вершине ( ( ) ) d v q ≥ . Допустим, что для приведённой R – диаграммы ( ) 1/ T q p − − группы V обо- значает число вершин, E – число рёбер, а F – число областей. Так как рёбра рассматриваются ориентированными, то их в два раза больше геометрических рёбер. Будем иметь, с одной стороны, что ∑ ≥ = Vq vd E )( 2 , а с другой стороны, что ∑ + ≥ = )1 ( ) ( 2 pF Dd E . Поэтому 1 1 2 2 2 2 . 1 p q V F E E q p pq q   + + + ≤ + =  + +   Из условия 1/ 1/ 1/ 2 p q + = имеем, что 2( ) pq p q = + . Тогда получаем, что 2 2 2 2 2 p q V F E E p q q + + + ≤ < + + , так как 3 q > . Таким образом, ( ) 1/ T q p − − группа не может иметь приведённой диа- граммы на торе. Как показано в [2] коммутирующие элементы таких групп являются степе- нями одного и того же слова. Следовательно, централизатор любого нетривиаль- ного элемента и (6) 1/ 3 T − − групп является циклическим. Для 1/ 6 − групп это было комбинаторными методами доказано Трюфо [6]. Для (4) 1/ 4 T − − групп также комбинаторными методами было получено автором в [5]. Заметим, что группы Линдона с условиями ( ) C p и ( ) T q , являются асфери- ческими. Литература 1. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М., 1980.