Университет XXI века: научное измерение

Университет XXI века: научное измерение – 2022 193 По условию (1/ ) C p ′ для любой внутренней R – области D приведенной диаграммы ( ) 1/ T q p − − группы 1 ) ( + ≥ p Dd , то есть имеется не менее 1 + p погра- ничного ребра. По условию ( ) T q из каждой внутренней вершины v приведенной диаграм- мы ( ) 1/ T q p − − группы выходит не менее q ориентированных ребер, то есть q vd ≥ )( . Заметим, что в силу того, что ребра имеют две возможные ориентации, число ребер карты вдвое больше числа геометрических ребер этой карты. Если V , E , F обозначают число вершин, неориентированных ребер и об- ластей (соответственно) приведенной диаграммы ( ) 1/ T q p − − группы, то, в силу ∑ ≥ = Vq vd E )( 2 и ∑ + ≥ = )1 ( ) ( 2 pF Dd E , имеем . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 E qq p q p E q pq q pE p q E FV < + + + + = + + + =      + + ≤ + Поэтому для ( ) 1/ T q p − − групп не существует приведенных диаграмм на торе, то есть рассмотренные ( ) 1/ T q p − − группы являются аторическими. В силу работы А. Ю. Ольшанского [2], для аторических групп перестано- вочные элементы являются степенями одного и того же слова, то есть они сов- падают со своим антицентром. Таким образом, справедлива Теорема 1 . ( ) 1/ T q p − − группы совпадают со своим антицентром. В [5] приведена Теорема 2 . Каждая конечно-порожденная абелева подгруппа ( ) 1/ T q p − − группы G является циклической. Теорема 3 . Если подгруппа ( ) 1/ T q p − − группы G разложима в нетривиаль- ное прямое произведение, то она является периодической. Доказательство. Если ( ) 1/ T q p − − группа ,1 G A B a A ⊃ × ≠ ∈ и Bb ∈≠ 1 , то, в силу теоремы 2, прямое произведение подгруппы, порожденной a , и подгруп- пы, порожденой b , является циклической группой. Следовательно, существуют такие ненулевые целые числа , , , , k m n r что ( ) k m n a a b = ⋅ и ( ) k m r b a b = ⋅ . Откуда 1 mn b = и 1 kr a = . Литература 1. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. – М., 1980. 2. Ольшанский А. Ю. Бесконечная простая нётерова группа без кручения // Изв. АН СССР. Сер. математическая. – 1979. – Т. 43. – № 6. – С. 1328–1394. 3. Ваньков Б. П. Непериодичность T(6)-1/3- групп // Тез. Междунар. алгебраической конф., посвящённой памяти А. Г. Куроша. – М. : МГУ, 1998. – С. 149. 4. Greendlinger M. On Dehn's algorithms for the conjugacy and word problems with application. – Comm. Pure and Appl. Math. –1960. – Vol. 13. – P. 641–677.