Университет XXI века: научное измерение

Научная конференция научно-педагогических работников, аспирантов, магистрантов ТГПУ им. Л. Н. Толстого 192 О СВОЙСТВАХ ПОДГУПП РАСШИРЕННОГО КЛАССА ГРУПП С МАЛОЙ МЕРОЙ НАЛЕГАНИЯ Б. П. Ваньков Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Аннотация. В работе для расширенного класса групп при помощи свойств аторичности и совпадения с антицентром рассматриваются свойства подгрупп, являющихся прямым произведением групп. Ключевые слова: группа, диаграмма, прямое произведение, аторичность. Рассмотрим конечно-определённую группу G с представлением > =< RX G ; , где R – симметризованное множество определяющих слов, то есть замкнутое относительно циклического сдвига их и взятия обратного, а свобод- ная группа F имеет базис X . Назовём её ( ) 1/ T q p − − группой, если симметри- зованное множество R всех определяющих слов удовлетворяет конъюнкции условий (1/ ) C p ′ и ( ) T q . Условие малого налегания (1/ ) C p ′ означает, что при сокращении произве- дения любых двух не взаимно обратных определяющих слов сокращается меньше 1/ p длины каждого из них. По условию ( ) T q любая последовательность пар из h , q h <≤ 3 , определя- ющих слов имеет хотя бы одну несократимую пару. При этом положим p и q натуральными числами, удовлетворяющими неравенству 1 1 1 2 p q + ≤ . Согласно [1] под R – диаграммой над группой F понимается ориентиро- ванная связная и односвязная карта ∆ и функция ϕ , сопоставляющая каждому ориентированному ребру e из карты ∆ метку )( e ϕ из F таким образом, что, 1 1 )) (( ) ( − − = e e ϕ ϕ . Если n e e p ⋅ ⋅ = ... 1 является граничным путём некоторой области из ∆ , то R e e p n ∈ ⋅ ⋅ = ) ( ... ) (( ) ( 1 ϕ ϕ ϕ Если диаграмма не содержит поддиаграммы, в которой ровно две области и граничная метка которой равна единице в свободной группе F , то она назы- вается приведённой. По лемме 2.1 главы 5 из [1] любая (кольцевая) связная и односвязная диа- грамма может быть редуцирована к приведенному виду без изменения гранич- ной метки (граничных меток) путем удаления нескольких областей и последу- ющих зашиваний. Граничная вершина или граничное ребро некоторой карты ∆ принадлежат границе ∆∂ . Граничная область не пусто пересекает границу ∆∂ карты ∆ . Вершина, ребро или область карты, не являющиеся граничными, называются внутренними. Пусть )( vd – степень вершины v , то есть число ориентированных рёбер с начальной вершиной v , ) ( Dd обозначает степень области, то есть число рёбер в граничном цикле области D .