Университет XXI века: научное измерение

Математика, физика и информатика 255 А. И. Денисов, И. В. Денисов Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого О РЕЗУЛЬТАТАХ ИССЛЕДОВАНИЯ УГЛОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Аннотация. Для сингулярно возмущенного параболического уравнения в прямоуголь- нике формулируется проблема построения достаточно хорошего приближения решения. Ключевые слова : пограничный слой, асимптотическое приближение, сингулярно возму- щенное уравнение. В прямоугольнике = {( , )|0 < < 1, 0 < < } рассматривается син- гулярно возмущенное параболическое уравнение 2 � 2 2 2 − � = ( , , , ) (1) с начальным условием ( , 0, ) = ( ), 0 ≤ ≤ 1 , (2) и краевыми условиями первого рода (0, , ) = 1 ( ), (1, , ) = 2 ( ), 0 ≤ ≤ . (3) Предполагаются выполненными следующие условия. Условие I . Функция ( , , , ) является достаточно гладкой, а функции ( ) , 1 ( ) и 2 ( ) - достаточно гладкие и согласованные в угловых точках пря- моугольника Ω : (0) = 1 (0) , (1) = 2 (0) . Условие II . Уравнение ( , , , 0) = 0 в замкнутом прямоугольнике имеет решение =̄ 0 ( , ) . Условие III . Производная ′ (̄ 0 ( , ), , , 0) > 0 в замкнутом прямоугольнике . Условие IV . Начальная задача 0 = − (̄ 0 ( , 0) + 0 , , 0,0), 0 ( , 0) = ( ) −̄ 0 ( , 0) , с параметром ∈ [0,1] имеет решение 0 ( , ), ≥ 0 , и удовлетворяет условию 0 ( , ∞ ) = 0 . Условие V . Для систем 1 = 2 , 2 2 = (̄ 0 ( , ) + 1 , , , 0), = 1, 2 , где t играет роль параметра, прямые 1 = 1+ ( ) −̄ 0 ( , ) соответ- ственно пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя ( 1 , 2 ) = (0,0) при → ∞ . Современные аналитические методы исследования дифференциальных уравнений с частными производными не позволяют в рамках условий I–V отве- тить на вопрос о существовании решения. Если все же для какого-либо частного