Университет XXI века: научное измерение

Математика, физика и информатика 251 Число ориентированных ребер с начальной вершиной v есть )( vd – степень вершины v. ) ( Dd обозначает степень области D , то есть число ребер в гранич- ном цикле области. Условие C'(1/p) гарантирует существование не менее 1 + p пограничного ребра у всякой внутренней R – области D приведенной диаграммы T(q) - 1/p - группы, то есть 1 ) ( + ≥ p Dd . Условие T(q) гарантирует, что из каждой внутренней вершины v приведен- ной диаграммы T(q)- 1/p - группы выходит не менее q ориентированных ребер, то есть q vd ≥ )( . Теорема 1 . Не существует приведенной диаграммы на торе для T(q)-1/p– групп. Доказательство. Если через V, E, F обозначить число вершин, неориентированных ребер и областей приведенной диаграммы T(q)-1/p – группы, то в силу 2 = ∑ ( ) ≥ и 2 = ∑ ( ) ≥ ( + 1) , получим + ≤ 2 � 1 + 1 +1 � = 2 +2 +2 + = 2 +2 +2 2 +2 + < . Следовательно, получаем, что не существует приведенной диаграммы на торе для этих групп, то есть рассмотренные T(q)- 1/p – группы являются атори- ческими. В работе Ольшанского А. Ю. [2] показано, что перестановочные элементы аторических групп являются степенями одного и того же слова. Таким образом, T(q) - 1/p - группы совпадают со своим антицентром. Теорема 2. Каждая конечно-порожденная абелева подгруппа T(q)-1/p - группы G является циклической. Доказательство. Так как совпадение с антицентром является наследственным свойством, то если H - абелева подгруппа T(q) - 1/p - группы G, порожденная k элементами 1 ,..., k b b , где 1 k > , то H совпадает со своим антицентром. Следовательно, суще- ствует такой элемент z, что элементы 1 2 ,..., , k b b z − порождают H. Таким образом, H в итоге получается циклической. Литература 1. Линдон, Р. Комбинаторная теория групп / Р. Линдон, П. Шупп. – М., 1980. 2. Ольшанский, А. Ю. Бесконечная простая нётерова группа без кручения / А. Ю. Ольшанский // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1979. – Т. 43. – Вып. 5. – С. 1328–1394. 3. Ваньков, Б. П. Непериодичность T(6)-1/3- групп / Б. П. Ваньков // Тезисы Междунар. алгебраической конф., посвящённой памяти А. Г. Куроша. – М.: МГУ, 1998. – С. 149. 4. Greendlinger, M. On Dehn's algorithms for the conjugacy and word problems with application / M. Greendlinger // Comm. Pure and Appl. Math. – 1960. – № 13. – С. 641–677.