Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2020 294 А. И. Денисов 1 , И. В. Денисов 2 1 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Москва) ; 2 Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Аннотация. В прямоугольнике рассматривается сингулярно возмущенное параболиче- ское уравнение с краевыми условиями первого рода. Ключевые слова : пограничный слой, сингулярно возмущенное уравнение, асимптоти- ческое приближение. В работах [1–7] развивается теория решения нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений с краевыми услови- ями первого рода в областях с угловыми точками границы. Для сингулярно возмущенного параболического уравнения 2 2 2 2 ( , , , ), ( , ) u u a F u x t x t x t                , (1) где   ( , ) | 0 1, 0 x t x t T       – прямоугольник, рассматривается задача с начальным условием ( ,0, ) ( ), 0 1 u x x x      , (2) и краевыми условиями первого рода 1 2 (0, , ) ( ), (1, , ) ( ), 0 u t t u t t t T         . (3) Асимптотическое решение задачи (1)–(3) строится в виде ряда, который состоит из суммы регулярной части, пограничных функций и угловых погра- ничных функций. Наиболее трудным является процесс построения угловых пограничных функций, который начинается с перехода к растянутым переменным и прохо- дит в три этапа. Сначала нужно установить существование решения нелиней- ной задачи для главного члена угловой части асимптотики с экспоненциальной оценкой убывания на бесконечности. Затем нужно установить разрешимость линейных задач для последующих членов угловой части асимптотики, также с экспоненциальными оценками убывания на бесконечности. В заключение необходимо обосновать равномерность приближения реше- ния задачи построенной асимптотикой решения.