Университет XXI века: научное измерение

Физика, математика и информатика 287 венным свойством, то H совпадает со своим антицентром. Следовательно, су- ществует элемент b такой, что элементы a 1 , …, a s-2 , b порождают H. Теорема 2 . Если подгруппа T (6)-1/3-группы разложена в нетривиальное прямое произведение, то она является периодической. Доказательство Пусть A×B ⸦ G, 1≠a ∈ A и 1≠b ∈ B. По теореме 1 прямое произведение подгруппы, порожденной a, и подгруппы, порожденной b, является цикличе- ской группой. Следовательно, существуют такие ненулевые целые числа α, β, γ, δ, что a = (a α ∙b β ) γ , b = (a α ∙b β ) δ . Получаем, что b βγ = 1 и a αδ = 1. В [3] показано, что нециклические T (6)-1/3-группы являются непериоди- ческими. Таким образом, в силу теоремы 2, получаем справедливость следующего утверждения. Теорема 3 . Если T (6)-1/3-группа G разложима в нетривиальное прямое произведение, то она является циклической. Литература 1. Линдон, Р. Комбинаторная теория групп / Р. Линдон, П. Шупп. – М., 1980. 2. Ольшанский, А. Ю. Бесконечная простая нётерова группа без кручения / А. Ю. Ольшанский // Изв. АН СССР. Сер. «Математика». – 1979. – № 43. – С. 1328–1394. 3. Ваньков, Б. П. Непериодичность групп с малой мерой налегания / Б. П. Ваньков // Чебышевский сб. Т. V. Вып. 1 (9): Тр. V Междунар. конф. «Ал- гебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». – Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2004. – C. 71–73. 4. Greendlinger, M. On Dehn's algorithms for the conjugacy and word problems with application / M. Greendlinger // Comm. Pure and Appl. Math., 13, 1960. – P. 641–677.