Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2020 286 1. Функция  сопоставляет каждому ориентированному ребру e из карты  метку )( e  из F таким образом, что, если 1  e – противоположным образом ориентированное ребро, то 1 1 )) (( ) (    e e   ; 2. Если n e e p    ... 1 – граничный путь некоторой области из  , то метка R e e p n     ) ( ... ) (( )( 1    Диаграмма  называется приведенной, если она не содержит поддиаграм- мы  такой, что в  ровно две области и граничная метка её равна единице в свободной группе F. Согласно лемме 2.1 главы 5 из книги [1], любая (кольцевая) диаграмма может быть редуцирована к приведенному виду без изменения граничной мет- ки (граничных меток) путем удаления нескольких областей и последующих зашиваний. Кроме односвязных диаграмм, рассматриваются диаграммы, дополнение к которым в Е 2 гомеоморфно внешности кольца. Такие диаграммы называются кольцевыми или диаграммами сопряженности. Конечно, определённая группа G называется T (6)-1/3-группой, если сим- метризованное множество R всех её определяющих слов удовлетворяет конъ- юнкции условий C'(1/3) и T (6). Условие C'(1/3) означает, что при приведении произведения любых двух не взаимно обратных определяющих слов сокращается меньше 1/3 длины каждого из них. Условие T (6) означает, что, если каждое из n, 3≤ n <6, определяющих слов написать на одной стороне n-угольника, то сокращения не могут произойти од- новременно на всех n вершинах. Условие C'(1/3) гарантирует существование не менее 4 пограничных рёбер у всякой внутренней R – области D приведенной диаграммы T (6)-1/3-группы, то есть d(D) ≥ 4. Условие T (6) гарантирует, что из каждой внутренней вершины v приве- денной диаграммы T (6)-1/3-группы выходит не менее 6 ориентированных ре- бер, то есть d(v) ≥ 6. Заметим, что T (6)-1/3-группы являются аторическими, то есть не сущест- вует приведенной диаграммы на торе для этих групп. Так как, если предполо- жить противное и обозначить через V, E, F число вершин, неориентированных ребер и областей, соответственно, такой диаграммы, то в силу 2E = ∑d(v) ≥ 6V и 2E = ∑d(D) ≥ 4F, получим V + F < E. Поэтому, в силу работы А. Ю. Ольшанского [2], перестановочные элемен- ты T (6)-1/3- группы являются степенями одного и того же слова, т. е. T (6)-1/3- группы совпадают со своим антицентром. Теорема 1 . Каждая конечно-порожденная абелева подгруппа T (6)-1/3- группы G является циклической. Доказательство Пусть H – абелева подгруппа T (6)-1/3-группы G, порожденная s элемента- ми a 1 , a 2 , …, a s , где s >1 Так как совпадение с антицентром является наследст-