Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2020 282 Рис. 1. Колебания на 4-х пружинах Рис. 2. Пружинный маятник Пусть m – масса груза, l 0 – длина пружины в ненапряжённом состоянии, k – коэффициент жёсткости пружины. Считаем, что сила сопротивления среды отсутствует, пружина не изгибается, а её упругость сохраняется при любом растяжении. Опуская детали вывода уравнений, который может быть проведён различными методами, запишем окончательный результат 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 d d 1 0, 1 0 d d x l y l x y g t t x y x y                            , (2) где k m   , а x и y – декартовы координаты маятника. Нелинейные уравнения (2) описывают колебания маятника на пружине при любом отклонении от вертикали и любом удлинении пружины. Линеаризуя их при малых отклонениях от положения равновесия, получим 2 2 2 d 0 d x x x t    , 2 2 2 d 0 d y z z t    , х g l   , у k m   , (3) где 0 l l mg k   – длина пружины в положении статического равновесия, z = y – l (| z |<< y ; l ) – отклонение длины пружины от равновесной длины при ко- лебаниях. Очевидно, что уравнения (3) имеют решения в виде (1). Таким образом, среди нелинейных колебаний, описываемых уравнениями (2), содержатся ли- нейные режимы малых колебаний, которые и являются фигурами Лиссажу. При малых удлинениях пружины и небольших углах отклонения  колеба- ния груза оказываются практически вертикальными и совершаются с частотой пружинного маятника  y , а колебания относительно вертикали (вдоль оси OX ), поскольку изменение длины пружины очень мало, будут совершаться с часто- той математического маятника  x . Численное интегрирование уравнений (2), проведённое в PTC Mathcad, подтверждает эти выводы. В таблице 1 представлены начальные условия, до- полняющие систему (2) при l 0 = 1 м, подобранное для определённого соотно- шения частот  x /  y относительное удлинение пружины при статическом равно- весии и получающиеся траектории.