Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2017 282 Всероссийской Олимпиады школьников, в турнирах не участвовали только фи- зико-математический лицей города Ефремова (ввиду значительной отдалённо- сти от Тулы) и лицей №1 города Тулы. Победителями турниров становились гимназия № 18 г. Алексина (2014 г.), гимназия № 1 г. Тулы (2015, 2016 гг.), ли- цей № 2 г. Тулы (2017 г.). Турниры освещаются в интернете, сайт турнира 2017 года расположен по адресу http://tula-tmb.ucoz.site/tmbshto/2017.html, там же да- ны ссылки на предыдущие турниры. Турниры проводятся по «тульским» пра- вилам, http://tula-tmb.ucoz.site/tmbshto/pravila.html, которые значительно отли- чаются от более известных «ленинградских». В каждом математическом бое командам предлагается 9 задач олимпиад- ного характера, соответствующих программе старших классов средней школы. Задачи даются по различным разделам математики. Приводим пример задач одного из туров: 1. Решите систему уравнений:      =++ =++ =++ 24 24 24 x z zx z y yz y x xy 2. Пусть a, b, c – действительные числа и 2 2 2 1 a b c + + = . Найдите наиболь- шее и наименьшее значения выражения ab bc ca + + . 3. Докажите, что существует простое число, большее миллиона, которое после прибавления 210 становится составным. 4. Даны 4 монеты. Каждая из них может быть либо настоящей, либо фаль- шивой. Вес настоящей монеты 10 грамм, а фальшивой 9. Можно ли за три взвешивания на электронных весах, показывающих вес груза, определить, ка- кие монеты настоящие, а какие – фальшивые? 5. Можно ли расставить в таблице 4×4 различные натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы во всех квадратиках 2×2 сумма чисел делилась на 17? 6. В погребе 8 банок клубничного варенья, 7 малинового и 5 вишневого. Сколько банок можно в темноте вынести из погреба с уверенностью, что там останутся хотя бы 4 банки одного вида варенья и 3 банки другого? 7. Найти высоту конуса, имеющего наибольшую площадь боковой поверх- ности, вписанного в шар радиуса 6. 8. Какое наибольшее число точек можно отметить в круге радиуса 1 так, чтобы попарные расстояния между ними были бы больше 2 ? 9. В треугольнике ABC точки D и E лежат на стороне BC, причем BD = CE и BAD CAE ∠ = ∠ . Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Литература 1. Игнатов, Ю. А. Роль математические боёв в развитии школьного мате- матического образования Тульской области / Ю. А. Игнатов, В. А. Шулюпов.– Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2016. 2. Шулюпов, В. А. Отборочные математические бои турнира математиче- ских боёв школ Тульской области 2014 года: Сб. задач с метод. рекомендация- ми / В. А. Шулюпов, Ю. А. Игнатов, И. Ю. Реброва и др.; Под ред. В. А. Шу- люпова.– Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2013.