Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2017 278 В. А. Шулюпов Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого О ГЕРОНОВЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ МЕДИАНАМИ Аннотация. Рассматриваются треугольники с целыми сторонами, у которых 3 из 4 ве- личин (площадь и медианы) – целые числа. С помощью компьютерной программы находятся все такие треугольники со сторонами не более 1000. Ключевые слова: героновы треугольники; героновы треугольники с целочисленными медианами. Героновы треугольники (треугольники Герона) известны со времён древ- ней Греции [1]. Это треугольники, стороны и площадь которого выражаются целыми числами. Таких треугольников много, например, со сторонами 3-4-5, 5- 5-6, 5-5-8… Гораздо более интересен вопрос, существует ли геронов треугольник, у ко- торого медианы также выражаются целыми числами. Напомним, что если тре- угольник имеет стороны a , b и c , то его площадь ( )( )( ) S p p a p b p c = − − − , где 1 ( ) 2 p a b c = + + – полупериметр, медианы, проведённые к сторонам a , b и c выра- жаются по формулам 2 2 2 1 2 2 2 a m b c a = + − , 2 2 2 1 2 2 2 b m a c b = + − и 2 2 2 1 2 2 2 c m a b c = + − соответственно. Ситуация во многом напоминает ту, кото- рая почти до конца XX века была с великой теоремой Ферма, регулярно нахо- дятся доказательства того, что таких треугольников нет, но столь же регулярно находятся их опровержения. Поэтому, актуален вопрос о нахождении целочис- ленных треугольников, у которых три медианы или площадь и две медианы выражаются целыми числами. Тема обсуждается в интернете на [2]. С помо- щью компьютерной программы удаётся найти все такие треугольники со сто- ронами не более тысячи: (52, 102, 146) S (136, 170, 174) (104, 204, 292) S (254, 262, 316) (272, 340, 348) (156, 306, 438) S (408, 510, 522) (226, 286, 580) (208, 408, 584) S (508, 524, 632)