Университет XXI века: научное измерение

Физика, математика и информатика 265 вхождения в циклическую подгруппу. Кроме того, в группе Кокстера экстра- большого типа последняя проблема разрешима [4]. Определение 2. Слово w обобщенной древесной структуры групп Кокстера G' назовем R -приводимым, если w свободно приведено и содержит подслово s, являющееся подсловом некоторого соотношения r из R , r=sb , где | b| <|s |. Определение 3. R -приведенное слово w обобщенной древесной структуры групп Кокстера G' назовем специально R -приводимым, если в нем выделяется подслово s 1 s 2 …s n , где каждое s t принадлежит G ij и служит подсловом соотноше- ния s t -1 d t -1 b t d t+1 из R , причем при t= 1 и t=n имеем |d t |=|d t+1 |= 1 , |s t |=|b t |+ 2 и для t , 1< t < n , | d t |=|d t+1 |= 1, | b t |=|s t |. Лемма 2. 1. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w обобщенной древесной структуры групп Кокстера G' вы- яснить, будет ли w R -приведенным. 2. Существует алгоритм, который для произвольного циклически R - приведенного слова w из обобщенной древесной структуры групп Кокстера G' выясняет, будет ли w специально R -приведенным. Лемма 3. Если w из G' слово бесконечного порядка. Тогда любая степень слова, сопряженного w 2 в группе G' циклически R и специально R -неприводима. Лемма 4. В обобщенной древесной структуре групп Кокстера G' разреши- ма проблема вхождения в циклическую подгруппу. Определение. В группе G разрешима проблема корня, если существует ал- горитм, который для произвольного w из G определяет, существуют ли n из N\ {1} и x из G такие, что x n =w . Основной результат данной работы заключается в следующем: Теорема. В обобщенных древесных структурах групп Кокстера разрешима проблема корня. Следствие. Любая последовательность циклических подгрупп в обобщен- ных древесных структурах групп Кокстера стабилизируется. Литература 1. Безверхний, В. Н. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа / В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. «Математика. Механика. Информатика».– 2003.– Т. 9.– № 1.– С. 13–22. 2. Безверхний, В. Н. О кручении в группах Кокстера с древесной структу- рой / В. Н. Безверхний, О. В. Инченко // Чебышевский сборник.– 2005.– Т. 6.– № 1.– С. 5–12. 3. Безверхний, В. Н. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением / В. Н. Безверхний // Алгоритми- ческие проблемы теории групп и полугрупп.– Тула, 1986.– C. 3–22. 4. Безверхний, В. Н. Решение проблемы вхождения в циклическую под- группу в группах Кокстера большого типа / В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. «Математика. Механика. Информатика».– 2004.– Т. 10.– № 1.– С. 23–37.