Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2017 264 И. В. Добрынина Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого О ПРОБЛЕМЕ КОРНЯ В ОБОБЩЕННЫХ ДРЕВЕСНЫХ СТРУКТУРАХ ГРУПП КОКСТЕРА Аннотация. Рассматривается решение проблемы извлечения корня в обобщенных дре- весных структурах групп Кокстера. Ключевые слова: группа Кокстера, проблема корня. Рассмотрим конечно порожденную группу Кокстера, заданную копред- ставлением < а i , , i J ∈ J < ∞ ; 2 1 i a = , , i J ∈ ( ) 1 ij m i j a a = , , , , ij i j i j J m ≠ ∈ ∈ ( ), , , ij m i j J ∈ : 1, 2 ii ij m m = ≥ > [1]. Если m ij >3 ( i j ≠ ), то рассматриваемая группа Кокстера является группой экстрабольшого типа. Данные классы групп в 1983 году выделили К. Аппель и П. Шупп. Если для группы Кокстера построить граф Г такой, что если верши- нам его произвольного ребра соответствуют образующие a i , a j , то самому ребру соответствует определяющее соотношение, связывающее эти образующие, и при этом получится дерево, то группа Кокстера имеет древесную структуру [2]. В. Н. Безверхний первым предложил рассматривать такие группы и совме- стно с О. В. Инченко решил в них ряд алгоритмических проблем. Рассмотрим далее обобщенные древесные структуры групп Кокстера G'=< П *Gi; rel Gi, a im =a' jl > , представляющие собой древесные произведения групп Кокстера, где G i либо группа Кокстера с древесной структурой, либо группа Кокстера экстра- большого типа c m ij <∞, i≠j . Лемма 1 . Слово из обобщенной древесной структуры G' имеет конечный порядок в том и только в том случае, когда оно сопряжено с некоторым словом из двупорожденной группы Кокстера. Аналогичные теоремы справедливы для групп Кокстера с древесной структурой [2] и для групп Кокстера экстрабольшого типа [1]. Определение 1. Проблемой вхождения будем называть проблему построе- ния алгоритма, который для данной конечно определенной группы G и конеч- ного множества элементов M из G определяет, принадлежит ли произвольный элемент из G подгруппе, порожденной M . В. Н. Безверхним [3] получен критерий разрешимости проблемы вхожде- ния в древесном произведении групп, объединенных по изоморфным подгруп- пам. Так как Кокстера с древесной структурой удовлетворяют данному крите- рию, то для них разрешима проблема вхождения, а, следовательно, и проблема