Университет XXI века: научное измерение

Физика, математика и информатика 261 И. В. Добрынина Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого О ПРОБЛЕМЕ ОБОБЩЕННОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В НЕКОТОРОМ КЛАССЕ ГРУПП КОКСТЕРА Аннотация. Рассматривается решение проблемы обобщенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Кокстера. Ключевые слова: группа Кокстера, обобщенная сопряженность. В 1911 году Дэн выделил проблемы равенства слов, сопряженности слов, изоморфизма групп, которые впоследствии стали относить к основным алго- ритмическим проблемами теории групп. П. С. Новиков доказал неразрешимость этих проблем в классе конечно оп- ределенных групп. Поэтому решение основных алгоритмических проблем ста- ло рассматриваться в конкретных классах групп. Группа с порождающими а i , , i J ∈ J < ∞ , и определяющими соотношения- ми 2 1 i a = , , i J ∈ ( ) 1 ij m i j a a = , , , , ij i j i j J m ≠ ∈ принадлежит матрице ( ), , , ij m i j J ∈ : 1, 2, ii ij m m = ≥ является группой Кокстера [1]. Известно, что в группах Кокстера разрешима проблема сопряженности слов. Однако ее решение весьма сложно и получено сравнительно недавно. К. Аппель и П. Шупп выделили классы групп Кокстера большого и экст- рабольшого типов: пусть 3 ij m ≥ ( i j ≠ ), тогда группа Кокстера имеет большой тип; пусть 3 ij m > ( i j ≠ ), тогда группа Кокстера является группой экстраболь- шого типа. В группах Кокстера большого типа, а, следовательно, и в группах Кокстера экстрабольшого типа, проблема обобщенной сопряженности слов решена В. Н. Безверхним и И. В. Добрыниной. В. Н. Безверхним определены группы Кокстера с древесной структурой (граф, вершины которого соответствуют образующим, а ребра соответствуют определяющим соотношениям, является деревом), которые могут быть пред- ставлены в виде древесного произведения двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам [2]. В. Н. Безверхним и О. В. Инченко в этих группах рассматривались алгоритмические проблемы, в том числе и проблема обобщенной сопряженности слов. Кроме того, В. Н. Безверхним введены обобщенные древесные структуры групп Кокстера, образованные из групп Кокстера с древесной структурой заме- ной некоторых вершин соответствующего дерева-графа группами Кокстера большого или экстрабольшого типов.