Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2017 244 группу, если в ней разрешима проблема левой делимости и для любых двух элементов существует наименьшее общее кратное. Группа Артина называется группой Артина большого типа [ ] 2 , если эле- менты соответствующей матрицы Кокстера ij m удовлетворяют условиям: 3 ij m ≥ при i j ≠ , для групп Артина экстра большого типа – 3 ij m > . Данный класс групп был введён Шупом и Аппелем, решавших в группах экстра большого типа проблему равенства и сопряжённости слов [ ] 2 . Естественно возникает проблема: будут ли полугруппы Артина большого и экстра большого типов изоморфно вложимы в соответствующие группы Артина. При изучении данной проблемы основным методом исследования является метод диаграмм, введённый Линдоном Р. [ ] 4 , открывшим широкий класс мало- сократимых групп, и решавшим в данном классе с помощью диаграммного ме- тода проблему равенства слов. Предварительно доказывается Теорема 1. Теорема 1 . Пусть , ; ab ab m m ab G a b ab ba =< < > =< > > группа Артина, 3 ab m ≥ . Тогда полугруппа G + изоморфно вложима в ab G . Доказывается, что любые два слова , W V G + ∈ равны в G ab + тогда и только тогда, когда W V = в группе ab G .В основе доказательства теоремы лежит ме- тод, связных односвязных приведённых диаграмм над ab G [ ] 4 . Следует отме- тить, что при доказательстве теоремы 1 используется следующая Лемма. Лемма [ ] 5 . Пусть слово 1 W = в группе a b G и циклически свободно несо- кратимо, ab m - число Кокстера соответствующее данной группе, 3 ab m ≥ , и пусть слоговая длина W равна 2 ab m , тогда W имеет следующий вид: a) 1 1 .... ... , m m a b ab a b − − − либо 1 1 .... ... , m m a b a b a b − − − если 2 1 ab m k = + 1 1 ) ... ... , m m b a b ba b b − − − либо 1 1 .... ... , m m a b b a b b − − − если 2 ab m k = , { \ {0}} m ∈ . Далее, используя полученный результат о вложимости полугруппы G + с двумя образующими в группу , ab G и методы, применяемые при доказатель- стве этой теоремы, доказывается Основная теорема. Основная теорема. Пусть G группа Артина большого типа 1 2 , ,..., ; m ji ij m n i j j i G a a a a a a a =< < > =< > , , 3 ij i j I m ∈ > ≥ , и пусть 1 2 , ,..., ; , , ij i j m m n i j j i G a a a aa a a i j I + =<< < > =< > ∈ >> полугруппа Артина, соответ- ствующая группе G , тогда полугруппа G + изоморфно вложима в Группу G . Следствие. Пусть G группа Артина экстра-большого типа и G + соответст- вующая ей полугруппа, тогда G + изоморфно вложима в группу G .