Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2017 236 Следствие леммы 5. Пусть – свободная группа, – ee свободные образующие, – подгруппа F, , не принадлежит . Тогда, если и z минимален в HzH и тогда циклическая подгруппа. Заметим, что используя перечисленные леммы 1-5 и представление группы (1) в виде (2), можно доказать, разрешимость проблемы сопряженности слов в (1). Представим группу G в виде свободного произведения свободных групп с объединением где указанный изоморфизм под- группы на . Любой элемент g можно единственным образом представить [7] (4) где – представители правых смежных классов по , по – принадлежат раз- ным сомножителям группы G; - ядро g, либо . Исполь- зуя представление (4) элементов группы G, структуру подгруппы и по- нятие специального множества слов для свободных конструкций групп [4] и леммы 1–5 можно показать, что любое конечное множество слов, порождаю- щее подгруппу H можно эффективно, через конечное число шагов преобразо- вать в специальное множество, [7] порождающее подгруппу H, из чего следует справедливость теоремы 1. Рассмотрим группу являющуюся HNN-расширением группы 6: (5) Лемма 6. В группе G (1) разрешима проблема пересечения смежного клас- са любой конечно порожденной подгруппы с подгруппой или . Теорема 2. [7] Пусть группа является HNN – расширением группы B с помощью изоморфных подгрупп из B и фиксированного конструк- тивного изоморфизма то есть Тогда, если в группе B разрешимы: 1) проблема вхождения; 2) проблема пересечения любой конечно порожденной подгруппы с и с 3) проблема пересечения смежного класса любой конечнопорожденной подгруппы H и подгрупп , 4) подгруппы , обладают свойством максимальности, то в группе разрешима проблема вхождения. Теорема 3. В группе G (5) разрешима проблема вхождения.