Университет XXI века: научное измерение 2016

Информатика и математика 175 И. В. Денисов Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого ОБ УГЛОВОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Аннотация. В прямоугольнике рассматривается сингулярно возмущенное параболиче- ское уравнение с краевыми условиями первого род. Обсуждается возможность построения полного асимптотического приближения решения при различных условиях. Ключевые слова: пограничный слой, сингулярно возмущенное уравнение, асимптоти- ческое приближение. В прямоугольнике   ( , ) | 0 1, 0 x t x t T       рассматривается первая краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения: 2 2 2 2 ( , , , ) u u a F u x t x t               , (1) ( ,0, ) ( ), 0 1 u x x x     , (2б) 1 2 (0, , ) ( ), (1, , ) ( ), 0 u t t u t t t T         . (2в) Решение задачи (1), (2) ищется методом угловых пограничных функ- ций (см. [1]) в виде асимптотического ряда по параметру  , состоящего из шес- ти частей: * * ( , , ) u x t u Q Q P P         . Здесь u – регулярная часть асимптотики,  , Q и * Q – пограничные функ- ции, играющие роль вблизи сторон прямоугольника  соответственно 0 t  , 0 x  и 1 x  , P и * P – угловые пограничные функции, играющие роль вблизи вершин прямоугольника  соответственно (0,0) и (1,0) . Все функции ищутся в виде рядов по степеням  :   * * * * 0 ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k k k k k k k u x t u x y x Q t Q t P P                     , (3) где * 2 1 , , x x t           – растянутые переменные. Основные проблемы доставляет угловая часть асимптотики, которая определяется из параболиче- ских уравнений того же типа, что и (1). В окрестности точки (0,0) для опреде- ления главного члена 0 ( , ) P   угловой части асимптотики в области 0, 0     получается нелинейная задача   2 2 0 0 0 0 0 0 2 (0,0) (0, ) ( ,0) ( , ),0,0,0 P P a F u Q P                      0 0 0 0 (0,0) (0, ),0,0,0 (0,0) ( ,0),0,0,0 F u F u Q        , (4а) 0 0 (0, ) (0, ) P     , 0 0 ( ,0) ( ,0) P Q     , (4б)