Технолого-экономическое образование: достижения, инновации, перспективы

Технолого-экономическое образование: достижения, инновации, перспективы: XIX Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием 38 с линейной функцией. Здесь потребуется введение основной операции матема- тического анализа – предельного перехода и понятие непрерывной функции. Следует обратить внимание на представление нелинейной функции ሺ ሻ в малой окрестности фиксированной точки ଴ в виде суммы числа и бесконечно малой величины. Это так называемое нулевое приближение функции: ሺ ሻ ൌ ൅ ଴ ሺ ሻ , где ௫→௫ బ ଴ ሺ ሻ ൌ 0 . (1) Выделяя класс непрерывных функций, мы приходим к уточнению представ- ления (1): ሺ ሻ ൌ ሺ ଴ ሻ ൅ ଴ ሺ ሻ , где ௫→௫ బ ଴ ሺ ሻ ൌ 0 . (2) Дальнейшее уточнение такой аппроксимации приводит к представлению ሺ ሻ ൌ ሺ ଴ ሻ ൅ ሺ െ ଴ ሻ ൅ ଵ ሺ ሻ ⋅ ሺ െ ଴ ሻ , где ௫→௫ బ ଵ ሺ ሻ ൌ 0 . (3) Эта линейная аппроксимация функции ሺ ሻ берется за определение диффе- ренцируемости, а числу присваивают имя производной ′ ሺ ଴ ሻ . Дальнейшие уточнения формулы (3) приводят к понятию производных выс- ших порядков и представлению ሺ ሻ ൌ ሺ ଴ ሻ ൅ ′ ሺ ଴ ሻ 1! ሺ െ ଴ ሻ ൅ ″ ሺ ଴ ሻ 2! ሺ െ ଴ ሻ ଶ ൅ ⋯൅ ሺ௡ሻ ሺ ଴ ሻ 2! ሺ െ ଴ ሻ ௡ ൅ ൅ ௡ ሺ ሻ ⋅ ሺ െ ଴ ሻ ௡ , где ௫→௫ బ ௡ ሺ ሻ ൌ 0 . (4) Параллельно этому можно развивать асимптотический метод решения урав- нений с малыми параметрами. Этот метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики, он успешно работает при решении нелинейных уравнений, уравнений с переменными коэффициентами и в задачах со сложными граничными условиями (см. [1]). Понимание асимптотического метода доступно даже школьникам. Можно рассмотреть возмущенную задачу для квадратного уравнения ఌ : ଶ െ ሺ3 ൅ 2 ሻ ൅ 2 ൅ ൌ 0 , где – малый параметр, и сравнить решение ఌ этой задачи с решением ଴ вырожденного уравнения ଴ : ଶ െ 3 ൅ 2 ൌ 0 . Решение x  следует искать по формуле, аналогичной представлению (4): ఌ ൌ ଴ ൅ ଵ ൅ ଶ ଶ ൅ ⋯ , (5) где ଵ ,  ଶ , … – коэффициенты, которые будут получаться рекуррентно. Далее можно перейти к асимптотическому методу решения дифференциаль- ных уравнений. Для их решения потребуется операция, обратная дифференциро- ванию. Это послужит обоснованию изучения интегрального исчисления.