Исследовательский потенациал молодых ученых: взгляд в будущее - 2022

173 Рассмотрим получившийся многоугольник подробнее. Он состоит из маленьких, что очень важно, одинаковых треугольников (многоугольник правильный). Обозначим основание каждого из них A , а высоту, перпендикуляр от вершины к основанию, буквой H Мы ничего не можем сказать об основании A какого-то одного из этих тре- угольников, но точно можем утверждать, что сумма оснований их вместе меньше длины окружности, а значит это сумма меньше 2πR – видно, что дуга окружно- сти всегда длиннее прямой линии. Также понятно, что высота H каждого тре- угольника будет точно меньше радиуса круга. Если площадь каждого из этих треугольников равна A*H/2 (полупроизведе- ние основания и высоты), то площадь всех их, а следовательно, и площадь мно- гоугольника равна: A1*H/2 + A2*H/2 + A3*H/2 + … A1,2,3… длина основания 1-ого, 2-ого, 3-его… треугольника. Вынесем общий множитель, за скобку: (A1+A2+A3…)*H/2 Мы знаем, что сумма длин оснований этих треугольни- ков (A1+A2+A3…) меньше 2ПR, а высота H меньше радиуса круга. Значит и это число – (A1+A2+A3…)*H/2 будет меньше 2πR*R/2, меньше πR². Получа- ется, площадь многоугольника меньше πR², но ведь до этого мы построили его так, чтобы его площадь была больше πR². Получено противоречие, рассуждение построено верно, а значит, неверно начальное предположение. Значит, площадь круга не может превысить πR². Доказательство с противоположным начальным предположением выгля- дит аналогично, только многоугольник не вписывается в круг, а описывается вокруг него. Выходит, что площадь круга не может быть ни больше, ни меньше чем πR², а значит, она равна ππR². На этом ученый не остановился, ведь его метод мог помочь вычислить то самое число Пи (отношение длины окружности к ее диаметру) с большей точно- стью. Дело в том, что длина окружности будет всегда лежать между отношением длины вписанной и описанной фигуры: