Исследовательский потенациал молодых ученых: взгляд в будущее - 2021

192 и начала анализа» включают в себя более сложные вопросы и темы данной дис- циплины. Элементы теории чисел входят в программу общего среднего образования, в частности, её задачи являются частью ЕГЭ по математике на профильном уровне. При решении таких задач применяются различные математические ме- тоды, сложность освоения которых может стать проблемой как для преподава- теля, так и для ученика. В связи с этим учитель обязан осуществлять обучение школьников как на базовом, так и на углубленном уровне, так же он должен быть готов к решению задач повышенного уровня сложности. В подтверждение вы- шесказанного, рассмотрим задачу аналогичную № 1346 из школьного учебника 8 класса [3, с. 322], предназначенного для углубленного изучения алгебры. Докажите, что при любом целом значение трехчлена 80 ଷ െ 60 ଶ ൅ 10 кратно 6. Решение. Способ 1. 80 ଷ െ 60 ଶ ൅ 10 ൌ 10 ሺ8 ଶ െ 6 ൅ 1ሻ 8 ଶ െ 6 ൅ 1 ൌ 0 ൌ 9 െ 8 ൌ 1 ଵ ൌ 1 4 , ଶ ൌ 1 2 80 ଷ െ 60 ଶ ൅ 10 ൌ 10 ሺ4 െ 1ሻሺ2 െ 1ሻ Любое натуральное число по теореме деления с остатком можно предста- вить в виде ൌ 6 ൅ , где െ остаток от деления на 6. Тогда ൌ 6 , где ∈ , то 10 ሺ4 െ 1ሻሺ2 െ 1ሻ ൌ 60 ሺ12 െ 1ሻሺ24 െ 1ሻ െ делится на 6; ൌ 6 ൅ 1, 10 ሺ4 െ 1ሻሺ2 െ 1ሻ ൌ ሺ60 ൅ 10ሻሺ12 ൅ 1ሻሺ24 ൅ 3ሻ ൌ 2ሺ30 ൅ 5ሻሺ12 ൅ 1ሻ ∙ 3 ∙ ሺ8 ൅ 1ሻ ൌ 6ሺ30 ൅ 5ሻሺ12 ൅ 1ሻሺ8 ൅ 1ሻ െ делится на 6; ൌ 6 ൅ 2, 10 ሺ4 െ 1ሻሺ2 െ 1ሻ ൌ ሺ60 ൅ 20ሻሺ12 ൅ 3ሻሺ24 ൅ 7ሻ ൌ 6ሺ30 ൅ 10ሻሺ4 ൅ 1ሻሺ24 ൅ 7ሻ െ делится на 6; ൌ 6 ൅ 3, 10 ሺ4 െ 1ሻሺ2 െ 1ሻ ൌ ሺ60 ൅ 30ሻሺ12 ൅ 5ሻሺ24 ൅ 11ሻ ൌ 6ሺ10 ൅ 5ሻሺ12 ൅ 5ሻሺ24 ൅ 11ሻ െ делится на 6; ൌ 6 ൅ 4, 10 ሺ4 െ 1ሻሺ2 െ 1ሻ ൌ ሺ60 ൅ 40ሻሺ12 ൅ 7ሻሺ24 ൅ 15ሻ ൌ 6ሺ30 ൅ 20ሻሺ12 ൅ 7ሻሺ8 ൅ 5ሻ െ делится на 6; ൌ 6 ൅ 5, 10 ሺ4 െ 1ሻሺ2 െ 1ሻ ൌ ሺ60 ൅ 50ሻሺ12 ൅ 9ሻሺ24 ൅ 19ሻ ൌ 6ሺ30 ൅ 25ሻሺ4 ൅ 3ሻሺ24 ൅ 19ሻ െ делится на 6. Получаем, что выражение 80 ଷ െ 60 ଶ ൅ 10 െ делится на 6. Способ 2. Докажем методом математической индукции. При ൌ 1 имеем ൌ 80 ∙ 1 ଷ െ 60 ∙ 1 ଶ ൅ 10 ∙ 1 ൌ 30 ⋮ 6, и, следовательно, сформулированное утверждение справедливо. По индуктивному предположению, оно справедливо при ൌ , т. е. ሺ80 ଷ െ 60 ଶ ൅ 10 ሻ ⋮ 6. Докажем, что оно справедливо при ൌ ൅ 1, т.е. покажем, что