Исследовательский потенациал молодых ученых: взгляд в будущее - 2021

159     2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 0 1 3 , 4 2 3 1 , 0, 16 2 . d i q d d i q d                                       (6) Здесь  – безразмерная амплитуда пучковой волны. Данную систему уравнений в (6), с учётом начальных условий, можно пред- ставить в виде одного уравнения для 2   x                             3 0 2 2 2 0 2 0 3 0 2 2 2 3 3 x x Q q x xx x x xQ d dx  , 2 0 0   x ,          2 8 3 2 3 1 8 1   Q (7) Решение (7) выражается эллиптические функции ) , ( ry cn и ),( ry sn         ry snx ry cn x x x x x xx x , , ~ 5,1 ~ 5,1 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 2         , (8) аргумент и модуль которых определяются следующим образом , 2 q y    2 2 0 0 2 2 1 , 3 x x x r x              2 0 2 2 2 12 8 9 1 ~ x Q q x (9) Время развития неустойчивости дается выражением 1 2 2 2 0 0 0 2 4 2 ln 4 3 x x x q x                          (10) Для вычисления  необходимо использовать первый интеграл уравнений (6)   2 0 2 2 2 1      (11) Формулы (8)–(11) дают аналитическое решение данной задачи о насыще- нии высокочастотной пучково-плазменной неустойчивости. В заключение ещё раз охарактеризуем рассмотренные в данной работе аналитические методы. Нужно отметить, что эти методы применимы, когда неустойчивость развивается в режиме коллективного эффекта Черенкова, что приводит к появлению в системе уравнений малого параметра, который опре- деляет связь пучковой и плазменной подсистем. Неустойчивость при этом ста- билизируется вследствие нелинейного сдвига частоты [4–6]. Стабилизирую- щими факторами в нерелятивистском случае являются торможение пучка в среднем (нелинейный сдвиг частоты, обусловленный изменением под дей- ствием средней силы скорости электронов пучка), а также нелинейные сдвиги частот, связанные с зависимостью частоты плазменных колебаний от их ам- плитуды. Если пучок является релятивистским, то появляется ещё один стаби- лизирующий нелинейный фактор – релятивистское изменение частоты плаз- менных колебаний пучка, для аналитического описания которого метод разложения траекторий должен быть дополнен процедурой, называемой мето- дом разложения импульсов [4–6].