Исследовательский потенациал молодых ученых: взгляд в будущее - 2021

158 В данных выражениях применяютя следующие безразмерные переменные и па- раметры [5, 6]: , 2 , 2 , 2 1 1 1 ,~ 2 , , 23 2 2 2 23 2 2 2 0 2 23 2 2 23 23 23 uk c u uk uk q uk q p uk i uk t z b z b p z b z p b z b p b z b                                        (2) Здесь b  и p  – ленгмюровские частоты электронов пучка и плазмы; u – началь- ная скорость электронов пучка,   1 2 2 2 1 u c     ;  ,  , p ,   безразмерные время, амплитуда плазменной волны, «импульс» электрона пучка и скорость соответ- ственно,   параметр релятивизма электронного пучка при коллективном эф- фекте Черенкова, а  0  расстройка. Слабость взаимодействия волн является условием для существования не- устойчивости в режиме коллективного эффекта Черенкова [5, 6], поэтому пара- метр связи пучковой и плазменной подсистем считаем малым 1   q (3) Чтобы получить аналитические решения уравнений (1), необходимо вос- пользоваться методом разложения траекторий и методом разложения импульсов [4-6], при реализации которых координату и импульс электрона пучка нужно представить в виде     0 0 0 1 ( ) ( , ), ( ) exp( ) . . 2 y y W x y p p A iy к с            (4) Последние слагаемые в (4) определяют характер колебательного движения, при этом необходимо предположить, что выполнено 1 ) , ( 0   yx . Величины   0 , x y t представляются в виде рядов Фурье:   0 0 1 1 ( , ) ( ( )exp . .) 2 k k x y t a t iky к с      (5) Дальнейшая реализация состоит в подстановке (4) и (5) в (1), разложении входящих в эти уравнения экспонент в ряды Тейлора по степеням   0 , x y t и полу- чении системы уравнений для функций W , p , k a и A , содержащей все алгеб- раические нелинейности до третьего порядка малости. Это необходимо, т. к. ку- бические нелинейности определяют насыщение неустойчивости, которая развивается в режиме коллективного эффекта Черенкова [4–6]. Заметим, что по- скольку в (1) не учитываются гармоники плотности плазмы и пучка, в сумме (5) достаточно учесть только одно слагаемое. Опуская детали весьма громоздкой процедуры вывода системы уравнений и последующего преобразования, запишем результат [4–6]