Молодежь и наука - третье тысячелетие: Материалы студенческой научно-практической конференции

40 При любом определении комплексных чисел элемент обычно рас- сматривается как некоторого рода мнимая единица, обладающая свойством. Несмотря на сходство определений данных трёх разновидностей ком- плексных чисел (далее – к.ч.), их роль в математической науке различна. Эл- липтические к.ч. имеют множество приложений в алгебре (основная теорема алгебры) и математическом анализе (одно из наиболее ярких применений – вы- числение интегралов). Важная роль данной разновидностей к.ч. в данных раз- делах математики, по сравнению с дуальными и двойными числами, связана с тем, что эллиптические к.ч. образуют поле. Совершенно иное применение имеют параболические комплексные, или дуальные, числа. Тот факт, что, позволяет рассматривать подмножество как множество бесконечно малых величин. Используя такую интер- претацию второй компоненты дуального числа, можно ввести на линейный порядок: Интерпретация множества дуальных чисел как множества действительных чисел, дополненного элементами, бесконечно близкими к вещественным точ- кам, имеет применение в математическом анализе. К примеру, если естествен- ным образом расширить область определения некоторой аналитической веще- ственной функции (см.) на множество дуальных чисел, то оказывается верным равенство: Последняя формула позволяет вычислить производную аналитической функции в вещественной точке, используя только вычисление значения данной функции в точках и алгебраические операции. Однако использование дуальных чисел ограничено тем фактом, что они не образуют поле: мнимая единица является делителем нуля. Данное ограни- чение отсутствует у другого типа расширения множества вещественных чисел, которое носит название гипердействительных чисел. Гипердействительные числа (далее – г.д.ч.) – это неархимедово упорядо- ченное расширение множества действительных чисел. Г.д.ч. должны обладать двумя свойствами: 1. Множество г.д.ч. образует упорядоченное поле и содержит подполе, изоморфное . 2. Во множестве г.д.ч. не должна выполняться аксиома (принцип) Архиме- да, то есть, существует такое, что для любого натурального числа выполняется . Множество г.д.ч. содержит бесконечно большие (превышающие по абсо- лютной величине любые действительные) и обратные им 0 бесконечно малые (меньшие по абсолютной величине любых действительных) – числа. При этом, так как для г.д.ч. выполнены аксиомы поля, они не содержат нуля и позволяют выполнять любые алгебраические операции, кроме деления на ноль. Раздел ма- тематики, изучающий применение гипердействительных чисел – нестандарт- ный анализ – является интерпретацией всего математического анализа на языке