Молодежь и наука 2017

216 Я. А. Матевосян Факультет математики, физики и информатики, V курс (очная форма обучения) Научный руководитель – А. Е. Устян ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ, ФИЗИКЕ И АСТРОНОМИИ Математический аппарат теории цепных или, как их ещё называют, непре- рывных дробей развивался именно благодаря их обширному применению в ма- тематике, физике, астрономии, биологии. Первые упоминания о них принято связывать с изобретением календаря в Древнем Египте. Большую роль в развитии аппарата сыграло то, что крайне важным являет- ся, насколько точное приближение числа можно найти, притом в общем случае число – иррациональное, рациональной дробью с достаточно маленьким знаме- нателем при вычислении затмений, движений планет и других периодичностей, которые появляются в небесной механике. Полезное применение аппарата на- шел выдающийся физик, астроном и математик Христиан Гюйгенс (1629– 1695): уменьшение количества зубьев в зубчатых передачах различных меха- низмов без значительного ущерба для точности, которое в свою очередь приво- дит к повышению прочности изделия. Этот подход используется сегодня в ро- бототехнике, космической отрасли и т. п. Актуальность темы вытекает из широкого практического применения ап- парата цепных дробей в математике, физике, астрономии, инженерных расче- тах. Кроме того, широкое практическое использование делает эту тему инте- ресной для изучения, так как иллюстрируется реальными примерами. Афоризм Галилео Галилея: «Математика – это язык, на котором написана книга приро- ды» имеет прямое отношение к непрерывным дробям, так как с их помощью можно выразить, например, «золотое сечение». Простейшей цепной дробью называется выражение вида: ... 3 1 2 1 1 + + + q q q Притом под буквами ,... 3 ,2 ,1 qqq в общем смысле имеются в виду незави- симые переменные; исходя из специальных потребностей, эти переменные можно заставить приобретать значения различных областей. Например, ,... 3 ,2 ,1 qqq могут быть как вещественными так и комплексными числами, более того могут быть функциями одной или нескольких переменных, и т. п. В соот- ветствии с целью и задачами данной работы мы будем всегда считать ,... 3 ,2 qq натуральными числами; 1 q может быть любым целым числом. Принято ,... 3 ,2 ,1 qqq называть элементами данной цепной дроби, причем их число может быть как конечным, так и бесконечным, из чего следует существование конеч- ных и бесконечных цепных дробей.